Le Circuit RLC en Parallèle est l’exact opposé du circuit en série que nous avons étudié dans le tutoriel précédent, bien que certains des concepts et équations précédents s’appliquent toujours. Cependant, l’analyse des circuits RLC en parallèle peut être un peu plus mathématiquement difficile que pour les circuits RLC en série, donc dans ce tutoriel sur les circuits RLC en parallèle, seuls des composants purs sont supposés pour simplifier les choses.

Cette fois-ci, au lieu du courant étant commun aux composants du circuit, la tension appliquée est désormais commune à tous, nous devons donc trouver les courants individuels dans chaque branche à travers chaque élément. L’impédance totale, Z d’un circuit RLC en parallèle est calculée en utilisant le courant du circuit, de manière similaire à celle d’un circuit parallèle à courant continu, la différence cette fois étant que l’admittance est utilisée au lieu de l’impédance. Considérons le circuit RLC en parallèle ci-dessous.

Circuit RLC en Parallèle

Dans le circuit RLC en parallèle ci-dessus, nous pouvons voir que la tension d’alimentation, V_S, est commune à tous les trois composants tandis que le courant d’alimentation I_S se compose de trois parties. Le courant qui traverse le résistor, I_R, le courant qui traverse l’inducteur, I_L, et le courant à travers le condensateur, I_C.

Cependant, le courant circulant à travers chaque branche, et donc chaque composant, sera différent les uns des autres et également différent du courant d’alimentation, I_S. Le courant total tiré de l’alimentation ne sera pas la somme mathématique des trois courants individuels des branches, mais leur somme vectorielle.

Tout comme pour le circuit RLC en série, nous pouvons résoudre ce circuit en utilisant la méthode des phasors ou des vecteurs, mais cette fois-ci, le diagramme vectoriel aura la tension comme référence avec les trois vecteurs de courant tracés par rapport à la tension. Le diagramme phasor pour un circuit RLC en parallèle est produit en combinant ensemble les trois phasors individuels pour chaque composant et en ajoutant les courants vectoriellement.

Étant donné que la tension à travers le circuit est commune à tous les trois éléments du circuit, nous pouvons l’utiliser comme vecteur de référence avec les trois vecteurs de courant dessinés par rapport à cela dans leurs angles correspondants. Le courant vectoriel résultant I_S est obtenu en additionnant deux des vecteurs, I_L et I_C, puis en ajoutant cette somme au vecteur restant I_R. L’angle résultant obtenu entre V et I_S sera l’angle de phase du circuit comme indiqué ci-dessous.

Diagramme Phasor pour un Circuit RLC en Parallèle

Nous pouvons voir d’après le diagramme phasor sur le côté droit ci-dessus que les vecteurs de courant produisent un triangle rectangle, comprenant l’hypoténuse I_S, l’axe horizontal I_R et l’axe vertical I_L – I_C. Espérons que vous remarquerez alors que cela forme un Triangle de Courant. Nous pouvons donc utiliser le théorème de Pythagore sur ce triangle de courant pour obtenir mathématiquement les grandeurs individuelles des courants de branche le long de l’axe des x et de l’axe des y, ce qui déterminera le courant total d’alimentation I_S de ces composants, comme indiqué.

Triangle de Courant pour un Circuit RLC en Parallèle

Puisque la tension à travers le circuit est commune à tous les trois éléments du circuit, le courant à travers chaque branche peut être trouvé en utilisant la loi du courant de Kirchhoff (KCL). Rappelez-vous que la loi du courant de Kirchhoff ou loi des nœuds stipule que “le courant total entrant dans un nœud est exactement égal au courant quittant ce nœud”. Ainsi, les courants entrant et sortant du nœud “A” ci-dessus sont donnés comme suit :

Prendre la dérivée, diviser l’équation ci-dessus par C et ensuite réarranger nous donne l’équation du second ordre suivante pour le courant du circuit. Elle devient une équation du second ordre parce qu’il y a deux éléments réactifs dans le circuit, l’inducteur et le condensateur.

L’opposition au flux de courant dans ce type de circuit AC est constituée de trois composants : X_L, X_C et R, la combinaison de ces trois valeurs donnant l’impédance du circuit, Z. Nous savons d’après ce qui précède que la tension a la même amplitude et phase dans tous les composants d’un circuit RLC en parallèle. Donc, l’impédance à travers chaque composant peut également être décrite mathématiquement selon le courant qui circule et la tension à travers chaque élément comme.

Impédance d’un Circuit RLC en Parallèle

Vous remarquerez que l’équation finale pour un circuit RLC en parallèle produit des impédances complexes pour chaque branche parallèle, chaque élément devenant le réciproque de l’impédance, (1/Z). Le réciproque de l’impédance est communément appelé Admittance, symbole (Y).

Dans les circuits AC parallèles, il est généralement plus pratique d’utiliser l’admittance pour résoudre des impédances complexes de branches, surtout lorsque deux ou plusieurs impédances de branches parallèles sont impliquées (ce qui aide avec les calculs). L’admittance totale du circuit peut simplement être trouvée par l’addition des admittances parallèles. Ensuite, l’impédance totale, Z_T du circuit sera donc 1/Y_T Siemens comme indiqué.

Admittance d’un Circuit RLC en Parallèle

L’unité de mesure couramment utilisée pour l’admittance est le Siemens, abrégé en S, (ancienne unité mho’s ℧, ohm’s à l’envers). Les admittances s’additionnent dans les branches parallèles, tandis que les impédances s’ajoutent dans les branches en série. Mais si nous pouvons avoir un réciproque d’impédance, nous pouvons aussi avoir un réciproque de résistance et de réactance, car l’impédance se compose de deux composants, R et X. Le réciproque de la résistance est appelé Conductance et le réciproque de réactance est appelé Susceptance.

Conductance, Admittance et Susceptance

Les unités utilisées pour conductance, admittance et susceptance sont toutes les mêmes, à savoir Siemens ( S ), qui peut également être considéré comme le réciproque des Ohms ou ohm^-1, mais le symbole utilisé pour chaque élément est différent et dans un composant pur, cela est donné comme suit :

Admittance ( Y ) :

Conductance ( G ) :

Susceptance ( B ) :

Nous pouvons donc définir la susceptance inductive et capacitive comme étant :

Dans les circuits AC en série, l’opposition au flux de courant est l’impédance, Z, qui a deux composants, la résistance R et la réactance, X, et à partir de ces deux composants, nous pouvons construire un triangle d’impédance. De même, dans un circuit RLC en parallèle, l’admittance, Y, a également deux composants, la conductance, G, et la susceptance, B. Cela permet de construire un triangle d’admittance qui a un axe de conductance horizontal, G, et un axe de susceptance vertical, jB, comme montré.

Triangle d’Admittance pour un Circuit RLC en Parallèle

Maintenant que nous avons un triangle d’admittance, nous pouvons utiliser Pythagore pour calculer les magnitudes de tous les trois côtés ainsi que l’angle de phase comme montré.

d’après Pythagore

Ensuite, nous pouvons définir à la fois l’admittance du circuit et l’impédance par rapport à l’admittance comme suit :

Ce qui nous donne un angle de facteur de puissance de :

Comme l’admittance, Y, d’un circuit RLC en parallèle est une quantité complexe, l’admittance correspondante à la forme générale de l’impédance Z = R + jX pour les circuits en série sera écrite comme Y = G – jB pour les circuits en parallèle où la partie réelle G est la conductance et la partie imaginaire jB est la susceptance. En forme polaire, cela sera donné comme :

Exemple de Circuit RLC en Parallèle N°1

Un 1kΩ résistor, une bobine de 142mH et un condensateur de 160uF sont tous connectés en parallèle à une alimentation de 240V, 60Hz. Calculez l’impédance du circuit RLC en parallèle et le courant tiré de l’alimentation.

Impédance d’un Circuit RLC en Parallèle

Dans un circuit AC, le résistor n’est pas affecté par la fréquence donc R = 1kΩ

Réactance Inductive, ( X_L ) :

Réactance Capacitive, ( X_C ) :

Impédance, ( Z ) :

Courant d’Alimentation, ( I_S ) :

Exemple de Circuit RLC en Parallèle N°2

Un 50Ω résistateur, une bobine de 20mH et un condensateur de 5uF sont tous connectés en parallèle à une alimentation de 50V, 100Hz. Calculez le courant total tiré de l’alimentation, le courant de chaque branche, l’impédance totale du circuit et l’angle de phase. Construisez également les triangles de courant et d’admittance représentant le circuit.

Circuit RLC en Parallèle

1). Réactance Inductive, ( X_L ) :

2). Réactance Capacitive, ( X_C ) :

3). Impédance, ( Z ) :

4). Courant à travers la résistance, R ( I_R ) :

5). Courant à travers l’inducteur, L ( I_L ) :

6). Courant à travers le condensateur, C ( I_C ) :

7). Courant total d’alimentation, ( I_S ) :

8). Conductance, ( G ) :

9). Susceptance Inductive, ( B_L ) :

10). Susceptance Capacitive, ( B_C ) :

11). Admittance, ( Y ) :

12). Angle de Phase, ( φ ) entre le courant résultant et la tension d’alimentation :

Triangles de Courant et d’Admittance

Résumé du Circuit RLC en Parallèle

Dans un circuit RLC en parallèle contenant un résistor, un inducteur et un condensateur, le courant du circuit I_S est la somme phasor composée de trois composants, I_R, I_L et I_C, avec la tension d’alimentation commune à tous les trois. Puisque la tension d’alimentation est commune à tous les trois composants, elle est utilisée comme référence horizontale lors de la construction d’un triangle de courant.

Les réseaux RLC parallèles peuvent être analysés en utilisant des diagrammes vectoriels tout comme avec des circuits RLC en série. Cependant, l’analyse des circuits RLC en parallèle est un peu plus mathématiquement difficile que pour les circuits RLC en série lorsqu’il contient deux ou plusieurs branches de courant. Ainsi, un circuit AC parallèle peut être facilement analysé en utilisant le réciproque de l’impédance appelé Admittance.

L’admittance est le réciproque de l’impédance donné par le symbole Y. Comme l’impédance, c’est une quantité complexe composée d’une partie réelle et d’une partie imaginaire. La partie réelle est le réciproque de la résistance et est appelée Conductance, symbole G. La partie imaginaire est le réciproque de la réactance et est appelée Susceptance, symbole B et exprimée sous forme complexe comme : Y = G + jB, ainsi que la dualité entre les deux impédances complexes étant définie comme :

Comme la susceptance est le réciproque de la réactance, dans un circuit inductif, la susceptance inductive B_L sera négative en valeur et dans un circuit capacitif, la susceptance capacitive B_C sera positive en valeur. L’exact opposé de X_L et X_C, respectivement.

Nous avons vu jusqu’à présent que les circuits RLC en série et en parallèle contiennent à la fois une réactance capacitive et une réactance inductive au sein du même circuit. Si nous faisons varier la fréquence à travers ces circuits, il doit y avoir un moment où la valeur de réactance capacitive est égale à celle de la réactance inductive et donc, X_C = X_L.

Le point de fréquence auquel cela se produit s’appelle la résonance et dans le prochain tutoriel, nous examinerons la résonance en série et comment sa présence modifie les caractéristiques du circuit.