La conversion de nombres de binaire à décimal utilise des colonnes pondérées pour identifier l’ordre des chiffres afin de déterminer la valeur finale du nombre.
La conversion de binaire à décimal (base-2 à base-10) et vice versa est un concept important à comprendre car le système numérique binaire forme la base de tous les systèmes informatiques et numériques.
Le système de comptage décimal ou “dénaire” utilise le système numérique de base 10, où chaque chiffre dans un nombre prend l’une des dix valeurs possibles, appelées “chiffres”, de 0 à 9, par exemple 21310 (deux cent treize).
Mais en plus d’avoir 10 chiffres (0 à 9), le système de numérotation décimal comprend également les opérations d’addition (+), de soustraction (–), de multiplication (×) et de division (÷).
Dans un système décimal, chaque chiffre a une valeur dix fois plus grande que celle de son chiffre précédent et ce système de numérotation décimal utilise un ensemble de symboles b, ainsi qu’une base q, pour déterminer le poids de chaque chiffre au sein d’un nombre.
Par exemple, le chiffre six dans soixante a un poids inférieur à celui du six dans six cents. Ainsi, dans un système numérique binaire, nous avons besoin d’un moyen de convertir Décimal à Binaire ainsi que de revenir de Binaire à Décimal.
Tout système de numérotation peut être résumé par la relation suivante :
| N = bi qi | |
| où : |
N est un nombre réel positif b est le chiffre q est la valeur de la base et l’entier (i) peut être positif, négatif ou zéro |
N = bn qn… b3 q3 + b2 q2 + b1 q1 + b0 q0 + b-1 q-1 + b-2 q-2… etc.
Le Système de Numérotation Décimale
Dans le système de numérotation décimal, base-10 (dén), chaque colonne de nombre entier a des valeurs d’unités, de dizaines, de centaines, de milliers, etc. à mesure que nous avançons dans le nombre de droite à gauche. Mathématiquement, ces valeurs sont écrites comme 100, 101, 102, 103 etc.
Chaque position à gauche du point décimal indique une puissance positive accrue de 10. De même, pour les nombres fractionnaires, le poids du nombre devient de plus en plus négatif à mesure que nous avançons de gauche à droite, 10-1, 10-2, 10-3 etc.
Nous pouvons donc voir que le “système de numérotation décimal” a une base de 10 ou modulo-10 (parfois appelé MOD-10) avec la position de chaque chiffre dans le système décimal indiquant l’ampleur ou le poids de ce chiffre alors que q est égal à “10” (0 à 9). Par exemple, 20 (vingt) est le même que dire 2 x 101 et donc 400 (quatre cents) est le même que dire 4 x 102.
La valeur de tout nombre décimal sera égale à la somme de ses chiffres multipliés par leurs poids respectifs. Par exemple : N = 616310 (six mille cent soixante-trois) au format décimal est égal à :
6000 + 100 + 60 + 3 = 6163
ou cela peut être écrit en reflétant le poids de chaque chiffre comme :
( 6×1000 ) + ( 1×100 ) + ( 6×10 ) + ( 3×1 ) = 6163
ou cela peut être écrit sous forme polynomiale comme :
( 6×103 ) + ( 1×102 ) + ( 6×101 ) + ( 3×100 ) = 6163
Dans cet exemple du système de numérotation décimal, le chiffre le plus à gauche est le chiffre le plus significatif, ou MSD, et le chiffre le plus à droite est le chiffre le moins significatif ou LSD. En d’autres termes, le chiffre 6 est le MSD puisque sa position la plus à gauche porte le plus de poids, et le nombre 3 est le LSD car sa position la plus à droite porte le moins de poids.
Le Système de Numérotation Binaire
Le Système de Numérotation Binaire est le système de numération le plus fondamental dans tous les systèmes numériques et informatiques, et les nombres binaires suivent le même ensemble de règles que le système de numérotation décimal. Mais contrairement au système décimal qui utilise des puissances de dix, le système de numération binaire fonctionne sur des puissances de deux, ce qui donne une conversion de binaire à décimal de base-2 à base-10.
La logique numérique et les systèmes informatiques utilisent seulement deux valeurs ou états pour représenter une condition, un niveau logique “1” ou un niveau logique “0”, et chaque “0” et “1” est considéré comme un chiffre unique dans un système de numération de base 2 (bi) ou “système de numération binaire”.
Dans le système de numération binaire, un nombre binaire tel que 101100101 est exprimé avec une chaîne de “1” et de “0”, chaque chiffre le long de la chaîne de droite à gauche ayant une valeur deux fois supérieure à celle du chiffre précédent. Mais comme c’est un chiffre binaire, il ne peut avoir une valeur que de “1” ou “0”, donc q est égal à “2” (0 ou 1), la position indiquant son poids dans la chaîne.
Comme le nombre décimal est un nombre pondéré, la conversion d’un décimal à binaire (base 10 à base 2) produira également un nombre binaire pondéré, avec le bit le moins significatif (LSB) étant le bit le plus à droite et le bit le plus significatif (MSB) étant le bit le plus à gauche, et nous pouvons représenter cela comme :
Représentation d’un Nombre Binaire
| MSB | Chiffre Binaire | LSB | ||||||
| 28 | 27 | 26 | 25 | 24 | 23 | 22 | 21 | 20 |
| 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Nous avons vu ci-dessus que dans le système de numération décimal, le poids de chaque chiffre de droite à gauche augmente par un facteur de 10. Dans le système de numération binaire, le poids de chaque chiffre augmente par un facteur de 2, comme montré. Ainsi, le premier chiffre a un poids de 1 ( 20 ), le deuxième chiffre a un poids de 2 ( 21 ), le troisième un poids de 4 ( 22 ), le quatrième un poids de 8 ( 23 ), et ainsi de suite.
Par exemple, convertir un nombre Binaire à Décimal donnerait :
| Valeur Chiffre Décimal | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| Valeur Chiffre Binaire | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
En ajoutant tous les valeurs des chiffres décimaux de droite à gauche aux positions représentées par un “1” nous obtenons : (256) + (64) + (32) + (4) + (1) = 35710 ou trois cent cinquante-sept en tant que nombre décimal.
Nous pouvons donc convertir binaire en décimal en trouvant l’équivalent décimal du tableau binaire de chiffres 1011001012 et en développant les chiffres binaires en une série avec une base de 2, donnant un équivalent de 35710 en décimal ou dénaire.
Notez qu’en matière de systèmes de conversion de nombres, des “sous-index” sont utilisés pour indiquer le système de numération de base pertinent, 10012 = 910. Si aucun sous-index n’est utilisé après un nombre, il est généralement supposé qu’il est décimal.
Méthode de Division par 2 pour le Binaire à Décimal
Nous avons vu ci-dessus comment convertir des nombres binaires en décimaux, mais comment convertissons-nous un nombre décimal en un nombre binaire ? Une méthode simple pour convertir des équivalents de nombre décimal en binaire consiste à écrire le nombre décimal et à diviser continuellement par 2 pour donner un résultat et un reste de soit un “1” soit un “0” jusqu’à ce que le résultat final soit égal à zéro.
Donc, par exemple. Convertissez le nombre décimal 29410 en son équivalent binaire.
| Nombre | 294 | Diviser chaque nombre décimal par “2” comme montré donnera un résultat plus un reste.
Si le nombre décimal divisé est pair, le résultat sera entier et le reste sera égal à “0”. Si le nombre décimal est impair, le résultat ne divisera pas complètement et le reste sera un “1”. Le résultat binaire s’obtient en plaçant tous les restes dans l’ordre avec le bit le moins significatif (LSB) en haut et le bit le plus significatif (MSB) en bas. |
||
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 147 | reste | 0 (LSB) | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 73 | reste | 1 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 36 | reste | 1 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 18 | reste | 0 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 9 | reste | 0 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 4 | reste | 1 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 2 | reste | 0 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 1 | reste | 0 | |
| diviser par 2 | ||||
| résultat | 0 | reste | 1 (MSB) | |
Cette technique de conversion décimal à binaire par division par 2 donne au nombre décimal 29410 un équivalent de 1001001102 en binaire, en lisant de droite à gauche. Cette méthode de division par 2 fonctionnera également pour la conversion vers d’autres bases numériques.
Ainsi, nous pouvons voir que les principales caractéristiques d’un Système de Numération Binaire sont que chaque “chiffre binaire” ou “bit” a une valeur de soit “1” soit “0”, chaque bit ayant un poids ou une valeur double de son bit précédent, à commencer par le bit le moins significatif (LSB) et c’est ce qu’on appelle la méthode de “somme des poids”.
Nous pouvons donc convertir un nombre décimal en nombre binaire soit en utilisant la méthode de somme des poids, soit en utilisant la méthode de division répétée par 2, et convertir binaire en décimal en trouvant sa somme des poids.
Noms et Préfixes des Nombres Binaires
Les nombres binaires peuvent être additionnés et soustraits tout comme les nombres décimaux, le résultat étant combiné dans l’une des plusieurs plages de taille en fonction du nombre de bits utilisés. Les nombres binaires se présentent sous trois formes de base : un bit, un octet et un mot, où un bit est un seul chiffre binaire, un octet est huit chiffres binaires, et un mot est 16 chiffres binaires.
La classification des bits individuels en groupes plus grands est généralement désignée par les noms plus couramment utilisés suivants :
| Nombre de Chiffres Binaires (bits) | Nom Commun |
| 1 | Bit |
| 4 | Nibble |
| 8 | Octet |
| 16 | Word |
| 32 | Double Word |
| 64 | Quad Word |
De plus, lors de la conversion de Binaire à Décimal ou même de Décimal à Binaire, nous devons faire attention à ne pas mélanger les deux ensembles de nombres. Par exemple, si nous écrivons les chiffres 10 sur la page, cela pourrait signifier le nombre “dix” si nous supposons qu’il s’agit d’un nombre décimal, ou cela pourrait également être un “1” et un “0” ensemble en binaire, ce qui est égal au nombre deux dans le format décimal pondéré ci-dessus.
Une façon de surmonter ce problème lors de la conversion des nombres binaires en dénombrables et de déterminer si les chiffres ou nombres utilisés sont décimaux ou binaires consiste à écrire un petit nombre appelé “sous-index” après le dernier chiffre pour montrer la base du système numérique utilisé.
Donc, par exemple, si nous utilisions une chaîne de nombres binaires, nous ajouterions le sous-index “2” pour désigner un nombre de base 2, donc le nombre serait écrit comme 102. De même, s’il s’agissait d’un nombre décimal standard, nous ajouterions le sous-index “10” pour désigner un nombre de base 10, donc le nombre serait écrit comme 1010.
Aujourd’hui, alors que les systèmes de micrologiciel ou de microprocesseur deviennent de plus en plus grands, les chiffres binaires individuels (bits) sont désormais regroupés par paquets de 8 pour former un seul BYTE, la plupart du matériel informatique tel que les disques durs et les modules de mémoire indiquant couramment leur taille en Mégaoctets ou même en Gigaoctets.
| Nombre d’Octets | Nom Commun |
| 1 024 (210) | Kilo-octet (kb) |
| 1 048 576 (220) | Mégaoctet (Mb) |
| 1 073 741 824 (230) | Gigaoctet (Gb) |
| un très long nombre! (240) | Téraoctet (Tb) |
Résumé de la Conversion Binaire à Décimal
- Un “BIT” est le terme abrégé dérivé de BInary digiT
- Un système binaire a seulement deux états, logique “0” et logique “1”, donnant une base de 2
- Un système décimal utilise 10 chiffres différents, de 0 à 9, lui donnant une base de 10
- Un nombre binaire est un nombre pondéré dont la valeur pondérée augmente de droite à gauche
- Le poids d’un chiffre binaire double de droite à gauche
- Un nombre décimal peut être converti en un nombre binaire en utilisant la méthode de somme des poids ou la méthode de division répétée par 2
- Lorsque nous convertissons des nombres de binaire à décimal, ou de décimal à binaire, des sous-index sont utilisés pour éviter les erreurs
La conversion de binaire à décimal (base-2 à base-10) ou de décimal à binaire (base-10 à base-2) peut être effectuée de plusieurs manières différentes comme montré ci-dessus. Lors de la conversion des nombres décimaux en nombres binaires, il est important de se souvenir de quel est le bit le moins significatif (LSB), et quel est le bit le plus significatif (MSB).
Dans le prochain tutoriel sur la logique binaire, nous examinerons la conversion des nombres binaires en nombres hexadécimaux et vice versa et montrerons que les nombres binaires peuvent être représentés par des lettres ainsi que des nombres.
