Les systèmes de numérotation binaire et hexadécimal sont des systèmes de numérotation positionnels qui utilisent différentes bases. Les systèmes de numération binaire utilisent une base de 2, tandis que les nombres hexadécimaux utilisent une base de 16. Un des principaux inconvénients de l’utilisation de chiffres binaires pour représenter des nombres décimaux en base 10 est que la chaîne binaire équivalente de 1s et 0s peut être assez longue et confuse.

Lorsque l’on travaille avec de grands systèmes numériques, il est courant de trouver des nombres binaires composés de 8, 16, voire 32 chiffres individuels, ce qui rend difficile la lecture ou l’écriture sans introduire d’erreurs, notamment lorsqu’on travaille avec de nombreux nombres binaires de 16 ou 32 bits.

Une manière courante de surmonter ce problème est d’agencer les nombres binaires en groupes ou ensembles de quatre bits (4 bits). Ces groupes de 4 bits utilisent un autre type de système de numérotation également utilisé dans les systèmes informatiques et numériques, appelé Nombres Hexadécimaux.

Chaîne de Nombres Hexadécimaux

Le système de numérotation “hexadécimal”, ou simplement “hex”, utilise un système de base 16 et est un choix populaire pour représenter de longues valeurs binaires parce que son format est assez compact et beaucoup plus facile à comprendre par rapport aux longues chaînes binaires de 1s et 0s.

Étant un système de base 16, le système de numération hexadécimal utilise donc 16 (seize) chiffres différents avec une combinaison de nombres allant de 0 à 15. En d’autres termes, il y a 16 symboles de chiffres possibles.

Cependant, il pourrait y avoir un problème potentiel avec cette méthode de notation numérique, causé par le fait que les numéraux décimaux de 10, 11, 12, 13, 14 et 15 sont généralement écrits en utilisant deux symboles adjacents. Par exemple, si nous écrivons 10 en hexadécimal, cela signifie-t-il le nombre décimal dix, ou le nombre binaire de deux (1 + 0).

Pour contourner ce problème délicat, les nombres hexadécimaux qui identifient les valeurs de dix, onze, … quinze sont remplacés par des lettres majuscules de A, B, C, D, E et F respectivement.

Dans le Système de Numération Hexadécimal, nous utilisons les chiffres de 0 à 9 et les lettres majuscules A à F pour représenter son équivalent numérique binaire ou décimal, en commençant par le chiffre le moins significatif à droite.

Comme nous l’avons déjà mentionné, les chaînes binaires peuvent être assez longues et difficiles à lire, mais nous pouvons simplifier la compréhension en divisant ces grands nombres binaires en groupes pour les rendre beaucoup plus faciles à écrire et à comprendre.

Par exemple, le groupe suivant de chiffres binaires 1101  0101  1100  1111₂ est généralement beaucoup plus facile à lire et à comprendre que 1101010111001111₂   lorsque tous les nombres binaires sont regroupés.

Dans l’utilisation quotidienne du système de numération décimale, nous utilisons des groupes de trois chiffres ou 000s à partir du côté droit pour rendre un très grand nombre tel qu’un million ou un trillion, plus facile à comprendre et il en va de même dans les systèmes numériques.

Les Nombres Hexadécimaux constituent un système plus complexe que l’utilisation simplement binaire ou décimale et sont principalement utilisés lorsque l’on traite avec des ordinateurs et des emplacements d’adresses mémoire. En divisant un nombre binaire en groupes de 4 bits, chaque groupe ou ensemble de 4 chiffres peut maintenant avoir une valeur possible allant de “0000” (0) à “1111” (8 + 4 + 2 + 1 = 15) donnant un total de 16 combinaisons numériques différentes allant de 0 à 15. N’oubliez pas que “0” est également un chiffre valide.

Nous nous souvenons de notre premier tutoriel sur les Nombres Binaires qu’un groupe de 4 bits est appelé un “nibble”. Étant donné que 4 bits sont également nécessaires pour produire un nombre hexadécimal, un chiffre hex peut aussi être considéré comme un nibble, ou un demi-octet. Ainsi, deux nombres hexadécimaux sont nécessaires pour produire un octet complet allant de 00 à FF.

De plus, puisque 16 dans le système décimal est la quatrième puissance de 2 (2⁴), il existe une relation directe entre les nombres 2 et 16 donc un chiffre hexadécimal a une valeur égale à quatre chiffres binaires de sorte que maintenant q est égal à “16”.

À cause de cette relation, quatre chiffres dans un nombre binaire peuvent être représentés par un seul chiffre hexadécimal. Cela rend la conversion entre les nombres binaires et hexadécimaux très facile, et l’hexadécimal peut être utilisé pour écrire de grands nombres binaires avec beaucoup moins de chiffres.

Les chiffres 0 à 9 sont toujours utilisés comme dans le système décimal original, mais les nombres allant de 10 à 15 sont désormais représentés par des lettres majuscules de l’alphabet allant de A à F inclus et la relation entre le décimal, le binaire et l’hexadécimal est donnée ci-dessous.

Nombres Hexadécimaux

En utilisant le numéro binaire original ci-dessus 1101 0101 1100 1111₂, cela peut maintenant être converti en un nombre hexadécimal équivalent de  D5CF qui est beaucoup plus facile à lire et à comprendre qu’une longue rangée de 1s et de 0s que nous avions auparavant.

Ainsi, en divisant une longue chaîne de chiffres binaires en groupes de 4, en partant de droite à gauche, nous pouvons les convertir en notation hexadécimale et présenter le même numéro numérique en utilisant moins de chiffres et avec beaucoup moins de risque d’erreur. De même, convertir des nombres basés sur l’hexadécimal en binaire est simplement l’opération inverse.

Les principales caractéristiques d’un Système de Numération Hexadécimal sont qu’il existe 16 chiffres distincts allant de 0 à F, chaque chiffre ayant un poids ou une valeur de 16, en commençant par le bit le moins significatif (LSB).

Pour distinguer les nombres hexadécimaux des nombres décimaux, un préfixe d’un “#” (Dièse) ou d’un “$” (Signe du dollar) est utilisé avant la valeur réelle du Nombre Hexadécimal, #D5CF ou $D5CF.

Comme la base d’un système hexadécimal est 16, qui représente également le nombre de symboles individuels utilisés dans le système, l’indice 16 est utilisé pour identifier un nombre exprimé en hexadécimal. Par exemple, le nombre hexadécimal précédent est exprimé comme :  D5CF₁₆

Compter avec les Nombres Hexadécimaux

Nous savons maintenant comment convertir 4 chiffres binaires en un nombre hexadécimal. Mais que se passe-t-il si nous avons plus de 4 chiffres binaires ? Comment compter en hexadécimal au-delà de la lettre finale F. La réponse simple est de recommencer avec un autre ensemble de 4 bits comme suit.

0…à…9, A, B, C, D, E, F, 10…à…19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21….etc

Ne vous y trompez pas, 10 ou 20 ne représente PAS dix ou vingt en décimal, ils représentent 1 + 0 et 2 + 0 en notation hexadécimale. En fait, vingt n’existe même pas en tant que nombre hexadécimal. En utilisant deux chiffres hexadécimaux, nous pouvons compter jusqu’à FF₁₆ qui est équivalent à 255₁₀.

De même, pour compter au-delà de FF₁₆, nous devrions ajouter un troisième chiffre hexadécimal sur le côté gauche. Ainsi, le premier chiffre hexadécimal à 3 bits représenterait 100₁₆ (256₁₀) et le dernier représenterait FFF₁₆ (4095₁₀). Le nombre hexadécimal maximal à 4 chiffres est FFFF₁₆ qui est égal à 65 535 en décimal et ainsi de suite à mesure que le nombre de chiffres augmente.

Représentation d’un Nombre Hexadécimal

Cette addition de chiffres hexadécimaux supplémentaires pour convertir à la fois des nombres décimaux et binaires en un Nombre Hexadécimal est très simple s’il y a 4, 8, 12 ou 16 chiffres binaires à convertir. Mais nous pouvons également ajouter des zéros à gauche du bit le plus significatif, MSB si le nombre de bits binaires n’est pas un multiple de quatre.

Par exemple, 11001011011001₂ est un nombre binaire de quatorze bits qui est trop grand pour juste trois chiffres hexadécimaux seulement, et pourtant trop petit pour un nombre hexadécimal de quatre chiffres. La réponse consiste à AJOUTER des zéros supplémentaires au bit le plus à gauche jusqu’à ce que nous ayons un ensemble complet de quatre chiffres binaires ou de multiples de ceux-ci.

Ajout de Zéros Supplémentaires à un Nombre Binaire

Ces “ajouts” de zéros s’appliquent à toute longueur de nombre binaire afin de trouver le nombre hexadécimal équivalent. Par exemple, si vous avez un nombre binaire de 9 bits et que vous nécessitez un nombre hexadécimal à 4 chiffres (16 bits), alors 7 zéros devraient être ajoutés au côté gauche du nombre binaire de 9 bits. Ce qui donne : 0000000111111111₂ = 01FF₁₆ et ainsi de suite.

L’avantage principal d’un Nombre Hexadécimal est qu’il est très compact et qu’en utilisant une base de 16, le nombre de chiffres utilisés pour représenter un nombre donné est généralement inférieur à celui en binaire ou en décimal. De plus, il est rapide et facile de convertir entre les nombres hexadécimaux et binaires.

Exemple de Nombres Hexadécimaux No1

Convertissez le nombre Binaire suivant 1110 1010₂ en son équivalent hexadécimal.

Exemple de Nombres Hexadécimaux No2

Convertissez le nombre Hexadécimal suivant #3FA7₁₆ en son équivalent Binaire, ainsi qu’en son équivalent Décimal ou Denary en utilisant des indices pour identifier chaque système de numération.

Alors, le nombre Décimal de 16,295 peut être représenté comme :

#3FA7₁₆   en Hexadécimal

ou

0011 1111 1010 0111₂   en Binaire.

Résumé des Nombres Hexadécimaux

Pour résumer. Le système de numération Hexadécimal, ou Hex, est couramment utilisé dans les systèmes informatiques et numériques pour réduire de grandes chaînes de nombres binaires en ensembles de quatre chiffres afin que nous puissions facilement comprendre. Le mot “hexadécimal” signifie seize car ce type de système numérique utilise 16 chiffres différents de 0 à 9, et A à F.

Les nombres hexadécimaux regroupent des nombres binaires en ensembles de quatre chiffres. Pour convertir une séquence binaire en un nombre hexadécimal équivalent, nous devons d’abord regrouper les chiffres binaires en ensembles de 4 bits. Ces ensembles binaires peuvent avoir une valeur allant de 0₁₀ ( 0000₂ ) à 15₁₀ ( 1111₂ ) représentant l’équivalent hexadécimal de  0 à F.

Nous avons donc vu ici que nous pouvons convertir de longs nombres binaires en un nombre hexadécimal plus petit en utilisant juste quelques chiffres, ce qui le rend plus facile à lire, écrire et comprendre. Dans le prochain tutoriel sur la Logique Binaire, nous examinerons la conversion de chaînes entières de nombres binaires en un autre système de numération numérique appelé Nombres Octaux et vice versa.