Le Tau, symbole τ, est la lettre grecque utilisée dans les calculs électriques et électroniques pour représenter la constante de temps d’un circuit en fonction du temps. Mais que signifie exactement la constante de temps d’un circuit et sa réponse transitoire ?

Les circuits électriques et électroniques ne sont pas toujours dans une condition d’état stable. Ils peuvent être soumis à des changements brusques sous forme de niveaux de tension modifiés ou de conditions d’entrée. Par exemple, l’ouverture ou la fermeture d’un interrupteur ou d’un capteur d’entrée.

Cependant, lorsqu’un changement de tension ou d’état se produit, le circuit peut ne pas réagir instantanément, mais peut prendre un certain temps, même très court, si des composants réactifs tels que des condensateurs et des inducteurs sont présents dans le circuit.

Le changement d’état d’une condition stable à une autre se produit généralement à un rythme déterminé par la constante de temps du circuit, qui elle-même sera une valeur exponentielle. La constante de temps d’un circuit définit comment la réponse transitoire des courants et des tensions du circuit changent sur une période de temps donnée.

Nous avons vu dans ces tutoriels que lorsqu’un circuit est soumis à une tension continue d’état stable, un condensateur agira comme un circuit ouvert, un inducteur agira comme un court-circuit et un résistor agira comme un dispositif limitant le courant.

Si la tension à travers un condensateur ainsi que le courant à travers un inducteur ne peuvent pas changer instantanément, alors quelle sera leur réponse transitoire lorsqu’ils sont soumis à une condition de changement d’étape ?

Mais avant d’appliquer une forme d’analyse transitoire à un circuit capacitif, rappelons-nous d’abord des caractéristiques V-I d’un circuit résistif ordinaire comme montré ci-dessous.

Circuit Résistif

Avec l’interrupteur en position S₂, la résistance de 10Ω est effectivement court-circuitée et donc déconnectée de la tension d’alimentation de 10 volts (V). En conséquence, aucun courant ne circule à travers la résistance, donc I_R = 0. Cependant, lorsque l’interrupteur est déplacé à la position S₁ au temps t = 0, une tension de pas de 10 volts est appliquée directement sur la résistance de 10Ω, ce qui entraîne un courant de 1 ampère (I = V/R) circulant à travers le circuit fermé.

Étant donné que la résistance est d’une valeur non inductive fixe, le courant change instantanément de 0 à 1 ampère dans une fraction de seconde dès que l’interrupteur est déplacé en position S₁. De même, si l’interrupteur revient à la position S₂, la tension d’alimentation (V) est supprimée, donc le courant du circuit retombera immédiatement à zéro comme indiqué dans le graphique ci-dessus.

Ainsi, pour un circuit résistif, le changement d’état électrique d’un état à un autre est pratiquement instantané, car il n’y a rien pour résister à ce changement. Par conséquent, les résistors ne font que limiter le flux de courant électrique autour d’un circuit à une valeur déterminée par la loi d’Ohm, c’est-à-dire V/R, et de ce fait, il n’y a pas de constante de temps ou de réponse transitoire qui leur soit associée.

Un circuit RC est un circuit électrique qui contient des résistances et des condensateurs, alors examinons la réponse transitoire d’un résistor connecté en série avec un condensateur. Quelles seraient les caractéristiques V-I de cette combinaison lorsqu’elle est soumise à un changement de tension d’entrée ?

Constante de Temps d’un Circuit RC

Nous avons vu ci-dessus qu’un résistor répond instantanément à tout changement de tension qui lui est appliqué. Mais un résistor est un dispositif passif linéaire qui ne stocke pas d’énergie, mais dissipe plutôt de l’énergie sous forme de chaleur. C’est-à-dire qu’il chauffe.

Un condensateur, en revanche, se compose de deux plaques conductrices (électrodes) séparées par un matériau diélectrique isolant qui a la capacité de stocker de l’énergie électrique sous forme de charge électrostatique (Q coulombs). En d’autres termes, les condensateurs stockent la charge.

Le résultat est que, contrairement au résistor, le condensateur ne peut pas réagir instantanément aux changements rapides ou impulsifs de la tension appliquée, il y aura donc toujours une courte période de temps immédiatement après que la tension soit d’abord appliquée pour que le courant du circuit et la tension à travers le condensateur changent d’état. En d’autres termes, il faudra un certain temps au condensateur pour changer la quantité d’énergie stockée dans son champ électrique, soit en augmentant soit en diminuant cette valeur.

Le temps nécessaire à la réponse du circuit est exprimé en multiples de R x C, c’est-à-dire le produit de “Ohms x Farads” donné en secondes (s). Le courant à travers le condensateur est donné par : i_C = C(dv/dt). Où : dv représente le changement de tension et dt représente le changement de temps.

Considérons le simple circuit résistance-capacité RC ci-dessous.

Circuit Résistor-Capaciteur (RC)

Avec l’interrupteur en position S₂ pendant un certain temps, la combinaison résistance-capaciteur est court-circuitée et donc pas connectée à la tension d’alimentation, V_S. En conséquence, aucun courant ne circule dans le circuit, donc I = 0 et V_C = 0.

Lorsque l’interrupteur est déplacé à la position S₁ au temps t = 0, une tension d’étape (V) est appliquée au circuit RC. À ce moment précis, le condensateur complètement déchargé se comporte comme un court-circuit en raison du changement soudain de dv/dt à l’instant où l’interrupteur est fermé en position S₁.

Ce changement provoque une augmentation du courant du circuit à une valeur limitée uniquement par la résistance du circuit, comme auparavant. Ainsi, lorsque l’interrupteur S₁ est initialement fermé à t = 0, le courant circulant dans le circuit fermé est approximativement égal à V_R/R ampères, car V_R = I*R et V_C = 0.

Au même instant où l’interrupteur est déplacé à la position S₁, ainsi que le flux de courant, le condensateur déchargé commence à se charger en essayant de stocker la charge électrique sur ses plaques. Le résultat est que la tension, V_C, à travers les condensateurs commence à augmenter progressivement tandis que le courant du circuit commence à diminuer à un rythme déterminé par la constante de temps, tau, de la combinaison RC.

Ainsi, nous pouvons définir la croissance de la tension à travers les plaques du condensateur, (V_C) à partir de t = 0 comme étant :

L’intégration des deux côtés donne :

Ainsi, la croissance exponentielle naturelle de la tension à travers le condensateur alors qu’il tente de stocker une charge sur ses plaques est donnée par :

Où :

• V_C est la tension à travers le condensateur
• V est la tension d’alimentation
• e est la base des logarithmes naturels
• t est la durée depuis la fermeture de l’interrupteur
• RC est la constante de temps tau du circuit RC

Nous pouvons montrer le taux exponentiel de croissance de la tension à travers le condensateur au fil du temps dans le tableau suivant en supposant des valeurs normalisées pour la tension d’alimentation de 1 volt, et une constante de temps RC d’un (1).

Croissance de la Tension du Condensateur au Fil du Temps

Clairement, nous pouvons voir d’après le tableau ci-dessus que les valeurs de : V_C = V(1 – e^-t/τ ) augmentent au fil du temps de t = 0 à t = 6 secondes (6τ), dans notre exemple, la tension à travers le condensateur est une fonction exponentiellement croissante, car à mesure que le temps (t) augmente, le terme e^-t/τ devient de plus en plus petit, si bien que la tension à travers le condensateur, V_C augmente vers celle de la tension d’alimentation qui provoque le changement.

Donc à t = 0, la valeur de la fonction est zéro, mais avec la poursuite de la croissance du temps (t) vers ∞, le point auquel t = RC lorsque 1 – e^-1 produit une valeur de 0.632 ou 63.2% (0.632*100%) de sa valeur finale d’état stable.

Par conséquent, pour une fonction exponentiellement croissante, la constante de temps, Tau (τ) est définie comme le temps nécessaire pour que la fonction atteigne 63.2% de sa valeur finale à un rythme commençant à t = 0. Ainsi, à chaque intervalle de temps tau, (τ) la tension à travers le condensateur augmente de e^-1 de sa valeur précédente et plus la constante de temps tau est petite, plus le rythme de changement est rapide.

Nous pouvons montrer la variation de la tension à travers le condensateur par rapport au temps graphiquement comme suit :

Croissance Exponentielle de la Tension au Fil du Temps

Alors nous pouvons voir que la réponse transitoire d’un condensateur à une entrée en étape n’est ni instantanée ni linéaire, mais augmente de manière exponentielle à un rythme déterminé par la constante de temps du circuit RC, et qu’une constante de temps est égale à un facteur de 1 – e^-1 = 0.6321.

Le tau à lui seul ne décrit pas combien de temps il faut au condensateur pour se charger complètement et, théoriquement, en raison de sa courbe transitoire exponentiellement croissante, un condensateur n’atteint jamais 100% de charge.

Cependant, après une période de temps équivalente à ou supérieure à celle de 5 constantes de temps, c’est-à-dire ≥ 5τ ou 5RC, depuis que le changement initial a eu lieu, la croissance exponentielle a ralenti à moins de 1% de sa valeur maximale. Pour la plupart des applications pratiques, nous pouvons donc dire qu’il a atteint son état final ou sa condition d’état stable sans qu’aucun changement ne se produise avec le temps. C’est-à-dire qu’à 5τ, le condensateur est “pleinement chargé”.

Exemple Tau No1

Un circuit RC en série a une résistance de 50Ω et une capacité de 160µF. Quelle est sa constante de temps, tau du circuit et combien de temps le condensateur met-il pour devenir complètement chargé ?

1. Constante de temps, τ = RC. Donc :

τ = RC = 50 x 160 x 10^-6 = 8 ms

2. Durée pour être entièrement chargé :

5T = 5τ = 5RC = 5 x 50 x 160 x 10^-6 = 40 ms, ou 0.04s

Exemple Tau No2

Un circuit se compose d’une résistance de 40Ω et d’une capacité de 350µF reliés entre eux en série. Si le condensateur est complètement déchargé, combien de temps faudra-t-il pour que la tension à travers les plaques du condensateur atteigne 45% de sa valeur finale d’état stable une fois la charge commencée ?

Donnees fournies : R = 40Ω, C = 350µF, t est le temps auquel la tension du condensateur devient 45% de sa valeur finale, c’est-à-dire 0.45V

Alors, il faut 8.37 milli-secondes pour que la tension à travers le condensateur atteigne 45% de son état stable à 5T lorsque la constante de temps, tau est de 14 ms et 5T est 70 ms.

Espérons que maintenant nous comprenons que la constante de temps d’un circuit RC en série est l’intervalle de temps qui équivaut à 0.632V (généralement considéré comme 63.2%) de sa valeur maximale (V) à la fin d’une constante de temps, (1T) résultant du produit de R et C. De plus, le symbole pour la constante de temps est un τ (lettre grecque tau), et que τ = RC, où R est en ohms, C en farads, et τ est en secondes.

Mais qu’en est-il d’un condensateur qui est déjà complètement chargé (V_C >5T), quelles seront les caractéristiques V-I du condensateur alors qu’il se décharge jusqu’à atteindre zéro volts, et la décroissance de la tension du condensateur suivra-t-elle la même forme de courbe exponentielle ?

Courbe de Décharge Transitoire RC

La décharge d’un condensateur complètement chargé est similaire au processus de charge. L’alimentation CC utilisée pour charger le condensateur à l’origine est déconnectée et remplacée par un court-circuit comme montré.

Supposons des conditions initiales dans lesquelles l’interrupteur (S) est “ouvert” et le condensateur a été complètement chargé (V_C >5T). Lorsque l’interrupteur (S) est fermé au temps t = 0, le condensateur commence à se décharger à travers le résistor, le temps nécessaire pour se décharger dépendant de la valeur du résistor. Étant donné que V_C = V_R = V à la base, la décroissance de tension est donnée par :

Équation de Décroissance Exponentielle de la Tension

Où; V_(t) est la tension à travers les plaques du condensateur, et V_C est la valeur initiale de tension du condensateur avant le début de la décroissance.

Auparavant, la fonction exponentielle était pour la croissance de la tension. Pour une fonction décroissante exponentiellement, le temps nécessaire pour que la tension atteigne zéro volts à un rythme constant dépend toujours de la constante de temps RC. Ainsi, la constante de temps est une mesure du “taux de décroissance”.

Par conséquent, pour une fonction décroissante exponentiellement, la constante de temps, tau (τ) est aussi définie comme le temps nécessaire pour que la tension décroissante atteigne environ 36.8% de sa valeur finale d’état stable lorsque la décroissance a commencé au temps t = 0. Donc si τ est une constante de temps, c’est-à-dire : τ = RC, et le circuit RC était en état stable complètement chargé à t = 0, alors :

Ainsi, à t = 0, la valeur de la fonction est au maximum, mais au fur et à mesure que (t) se dirige vers ∞, au point où t = RC, lorsque e^-1 produit une valeur de 0.368 ou 36.8% (0.368*100%) de sa valeur finale d’état stable, qui est zéro volts (complètement déchargé).

Encore une fois, nous pouvons montrer le taux exponentiel de décroissance de la tension à travers le condensateur au fil du temps dans le tableau suivant avec des valeurs normalisées pour la tension d’alimentation de 1 volt, et une constante de temps RC d’un (1).

Décroissance de la Tension du Condensateur au Fil du Temps

Un point à noter ici. La constante de temps, tau d’un circuit RC en série, de sa valeur initiale à t = 0 à τ sera toujours de 63.2% que le condensateur soit en charge ou en décharge. Pour une croissance exponentielle, la condition initiale est 0V, (zéro volts) car le condensateur est complètement déchargé.

Ainsi, la tension augmente de manière exponentielle jusqu’à 63.2% de V_MAX à la première constante de temps, 1T. Mais nous pourrions également penser à la tension du condensateur à 1T comme étant à 36.8% de sa valeur finale d’état stable après 5T. C’est-à-dire complètement chargé.

La même idée est également vraie pour une décroissance exponentielle. Pour un condensateur complètement chargé, la condition d’état stable initiale est V_C(max), donc le condensateur se déchargera jusqu’à atteindre 36.8% de sa condition finale d’état stable, qui est zéro volts (0V) après 5T. Mais encore une fois, nous pouvons également penser à la tension à travers le condensateur à l’instant 1T, comme étant à 63.2% de son départ initial lorsque le condensateur était complètement chargé à t = 0.

Alors, la valeur d’une constante de temps 1T, de la condition de départ initiale à 1T sera toujours de 0.632V, ou 63.2% de sa condition finale d’état stable. De même, à 1T, la tension du condensateur sera toujours de 0.368V, ou 36.8% de sa condition finale d’état stable, après 5T, qu’il soit complètement chargé à V_C(max) ou complètement déchargé à 0V.

Nous pouvons montrer la décroissance de la tension par rapport au temps graphiquement comme suit :

Dépense Exponentielle de la Tension au Fil du Temps

Encore une fois, le taux de décroissance de la tension au fil du temps dépend fortement de la valeur de la constante de temps RC, tau.

Exemple Tau No3

Un circuit RC en série a une constante de temps, tau de 5ms. Si le condensateur est complètement chargé à 100V, calculez : 1) la tension à travers le condensateur à 2ms, 8ms et 20ms après le début de la décharge, 2) le temps écoulé auquel la tension du condensateur décroît à 56V, 32V et 10V.

La tension à travers un condensateur en décharge est donnée par :

V_C(t) = V_C × e^–t/RC  Volts

La constante de temps RC est donnée par 5ms, donc 1/RC = 200. V_C = 100V.

1a). Tension du condensateur après 2ms

V_C(0.002) = 100 e^–200t = 100 e^–0.4 = 100 × 0.67 = 67.0 volts

1b). Tension du condensateur après 8ms

V_C(0.008) = 100 e^–200t = 100 e^–1.6 = 100 × 0.202 = 20.2 volts

1c). Tension du condensateur après 20ms

V_C(0.02) = 100 e^–200t = 100 e^–4 = 100 × 0.018 = 1.8 volts

Tension du condensateur (V_C) à la durée depuis t = 0

2a). Temps écoulé (t₁) lorsque V_C(t) = 56 volts

56 = 100 e^-200t,  donc : -200t₁ = ln(56/100) = –0.5798

Donc : t₁ = –0.5798 ÷ –200 = 2.9 ms

2b). Temps écoulé (t₂) lorsque V_C(t) = 32 volts

32 = 100 e^-200t,  donc : -200t₂ = ln(32/100) = –1.1394

Donc : t₂ = –1.1394 ÷ –200 = 5.7 ms

2c). Temps écoulé (t₃) lorsque V_C(t) = 10 volts

10 = 100 e^-200t,  donc : -200t₃ = ln(10/100) = –2.3026

Donc : t₃ = –2.3026 ÷ –200 = 11.5 ms

Résumé de la Constante de Temps Tau

Nous avons ici vu dans ce tutoriel sur Constante de Temps, Tau, symbole τ que la réponse transitoire d’un circuit RC est le temps qu’il faut pour changer d’une condition d’état stable à une autre condition d’état stable lorsqu’un changement d’entrée rapide est appliqué.

Lorsque le condensateur se charge de son état de tension zéro initial à sa tension d’état stable finale (V), la durée de temps est définie comme : τ = RC. C’est-à-dire le produit de R et C. Cela produit une fonction croissante exponentielle pour V_C avec cette constante de temps RC mesurée en secondes, et plus la constante de temps est petite, plus le rythme de changement de tension est rapide.

Nous avons également vu que pour une fonction croissante exponentiellement, la valeur après une constante de temps, 1T sera égale à 63.2% de sa valeur finale d’état stable. C’est-à-dire que pour une fonction croissante exponentiellement, c’est le temps requis pour que la tension atteigne sa valeur finale d’état stable qui se produit après 5T.

La valeur de V(t) pour une fonction croissante exponentiellement à un temps t = τ est donnée par :

V(t) = V( 1 – e^–1 ) = 0.632V

De même, pour une fonction décroissante exponentiellement, la valeur après une constante de temps, 1T est de 36.8% de sa valeur finale d’état stable. C’est-à-dire que pour une fonction décroissante exponentiellement, c’est le temps requis pour que la tension atteigne une valeur de zéro.

La valeur de V(t) pour une fonction décroissante exponentiellement à un temps t = τ est donnée par :

V(t) = V( e^–1 ) = 0.368V

De cette façon, de t = 0 à τ sera toujours 63.2% de la durée de temps, et de 1T à 5T sera toujours 36.8% de la durée de temps, en croissance ou décroissance exponentielle.