Intégrateur RC

Pour un circuit intégrateur RC passif, l’entrée est connectée à une résistance tandis que la tension de sortie est prise à travers un condensateur, étant l’exact opposé du circuit dérivateur RC. Le condensateur se charge lorsque l’entrée est élevée et se décharge lorsque l’entrée est faible.

En électronique, le circuit de base résistor-capaciteur (RC) connecté en série a de nombreuses utilisations et applications, allant des circuits de charge/décharge de base aux circuits filtrants d’ordre élevé. Ce circuit RC passif à deux composants peut sembler suffisamment simple, mais selon le type et la fréquence du signal d’entrée appliqué, le comportement et la réponse de ce circuit RC de base peuvent être très différents.

Un réseau RC passif n’est rien de plus qu’une résistance en série avec un condensateur, c’est-à-dire une résistance fixe en série avec un condensateur qui a une réactance dépendante de la fréquence qui diminue à mesure que la fréquence à travers ses plaques augmente. Ainsi, à basses fréquences, la réactance, Xc, du condensateur est élevée tandis qu’à hautes fréquences, sa réactance est faible en raison de la formule standard de réactance capacitive de Xc = 1/(2πƒC), et nous avons vu cet effet dans notre tutoriel sur les filtres passe-bas passifs.

Si le signal d’entrée est une onde sinusoïdale, un intégrateur RC agira simplement comme un filtre passe-bas (LPF) simple au-dessus de son point de coupure, la fréquence de coupure ou fréquence de coin correspondant à la constante de temps RC (tau, τ) du réseau en série. Ainsi, lorsqu’il est alimenté avec une onde sinusoïdale pure, un intégrateur RC agit comme un filtre passe-bas passif réduisant sa sortie au-dessus du point de fréquence de coupure.

Comme nous l’avons vu précédemment, la constante de temps RC reflète la relation entre la résistance et la capacité par rapport au temps, la quantité de temps, donnée en secondes, étant directement proportionnelle à la résistance, R, et à la capacité, C.

Ainsi, le taux de charge ou de décharge dépend de la constante de temps RC, τ = RC. Considérons le circuit ci-dessous.

Intégrateur RC

Pour un circuit intégrateur RC, le signal d’entrée est appliqué à la résistance avec la sortie prise à travers le condensateur, alors V_OUT est égal à V_C. Étant donné que le condensateur est un élément dépendant de la fréquence, la quantité de charge établie à travers les plaques est égale à l’intégrale du courant dans le domaine temporel. C’est-à-dire qu’il faut un certain temps pour que le condensateur se charge complètement, car le condensateur ne peut pas se charger instantanément, mais seulement charger de façon exponentielle.

Par conséquent, le courant de charge du condensateur peut être écrit comme :

Cette équation de base ci-dessus i_C = C(dVc/dt) peut également être exprimée comme le taux instantané de changement de charge, Q par rapport au temps, nous donnant l’équation standard suivante : i_C = dQ/dt, où la charge Q = C x V_C, c’est-à-dire la capacité multipliée par la tension.

Le taux auquel le condensateur se charge (ou se décharge) est directement proportionnel à la valeur de la résistance et de la capacité, donnant la constante de temps du circuit. Ainsi, la constante de temps d’un circuit intégrateur RC est l’intervalle de temps qui est égal au produit de R et C.

Puisque la capacité est égale à Q/Vc où la charge électrique, Q, est le flux d’un courant (i) au fil du temps (t), c’est-à-dire le produit de i x t en coulombs, et d’après la loi d’Ohm, nous savons que la tension (V) est égale à i x R, en substituant ceux-ci dans l’équation pour la constante de temps RC donne :

Constante de Temps RC

Nous pouvons donc voir qu’alors que i et R se simplifient, seule T reste, indiquant que la constante de temps d’un circuit intégrateur RC a la dimension du temps en secondes, étant donnée par la lettre grecque tau, τ.

Notez que cette constante de temps reflète le temps (en secondes) nécessaire pour que le condensateur se charge jusqu’à 63,2 % de la tension maximale ou se décharge jusqu’à 36,8 % de la tension maximale.

Tension du Condensateur

Nous avons dit précédemment que pour l’intégrateur RC, la sortie est égale à la tension à travers le condensateur, c’est-à-dire : V_OUT est égal à V_C. Cette tension est proportionnelle à la charge, Q, stockée sur le condensateur donnée par : Q = V x C.

Le résultat est que la tension de sortie est l’intégrale de la tension d’entrée, la quantité d’intégration dépendant des valeurs de R et C et donc de la constante de temps du réseau.

Nous avons vu ci-dessus que le courant du condensateur peut être exprimé comme le taux de changement de charge, Q par rapport au temps. Par conséquent, d’après une règle de base du calcul différentiel, la dérivée de Q par rapport au temps est dQ/dt et comme i = dQ/dt, nous obtenons la relation suivante :

Q = ∫idt (la charge Q sur le condensateur à tout instant)

Puisque l’entrée est connectée à la résistance, le même courant, i doit passer à la fois à travers la résistance et le condensateur (i_R = i_C) produisant une chute de tension V_R à travers la résistance, donc le courant, (i) circulant à travers ce réseau RC en série est donné par :

par conséquent :

Comme i = V_IN/R, substituer et réorganiser pour résoudre V_OUT comme une fonction du temps donne :

En d’autres termes, la sortie d’un circuit intégrateur RC, qui est la tension à travers le condensateur est égale à l’intégrale temporelle de la tension d’entrée, V_IN pondérée par une constante de 1/RC. Où RC représente la constante de temps, τ.

Ensuite, en supposant que la charge initiale sur le condensateur est zéro, c’est-à-dire V_OUT = 0, et que la tension d’entrée V_IN est constante, la tension de sortie, V_OUT s’exprime dans le domaine temporel comme :

Formule de l’Intégrateur RC

Ainsi, un circuit intégrateur RC est celui dans lequel la tension de sortie, V_OUT est proportionnelle à l’intégrale de la tension d’entrée, et avec cela à l’esprit, voyons ce qui se passe lorsque nous appliquons une seule impulsion positive sous la forme d’une tension à pas au circuit intégrateur RC.

Intégrateur RC à Pulsation Unique

Lorsqu’une seule impulsion de tension à pas est appliquée à l’entrée d’un intégrateur RC, le condensateur se charge par l’intermédiaire de la résistance en réponse à l’impulsion. Cependant, la sortie n’est pas instantanée alors que la tension à travers le condensateur ne peut pas changer instantanément, mais augmente de façon exponentielle à mesure que le condensateur se charge à un taux déterminé par la constante de temps RC, τ = RC.

Nous savons maintenant que le taux auquel le condensateur se charge ou se décharge est déterminé par la constante de temps RC du circuit. Si une impulsion de tension à pas idéale est appliquée, c’est-à-dire avec le bord d’attaque et le bord de chute considérés comme instantanés, la tension à travers le condensateur augmentera pour la charge et diminuera pour la décharge, exponentiellement au fil du temps à un taux déterminé par :

Charge du Condensateur :

Décharge du Condensateur :

Donc, si nous supposons une tension de condensateur d’un volt (1V), nous pouvons tracer le pourcentage de charge ou de décharge du condensateur pour chaque constante de temps R individuelle comme montré dans le tableau suivant.

Notez qu’à 5 constantes de temps ou plus, le condensateur est considéré comme complètement chargé ou complètement déchargé.

Maintenant, supposons que nous avons un circuit intégrateur RC composé d’une résistance de 100kΩ et d’un condensateur de 1uF comme montré.

Exemple de Circuit Intégrateur RC

La constante de temps, τ de ce circuit intégrateur RC est donc donnée comme :

RC = 100kΩ x 1uF = 100ms.

Si nous appliquons une impulsion de tension à pas à l’entrée d’une durée disons, de deux constantes de temps (200mS), alors d’après le tableau ci-dessus, nous pouvons voir que le condensateur se chargera à 86.4% de sa valeur complètement chargée.

Si cette impulsion a une amplitude de 10 volts, alors cela équivaut à 8.64 volts avant que le condensateur ne se décharge à nouveau à travers la résistance vers la source lorsque l’impulsion d’entrée revient à zéro.

En supposant que le condensateur est autorisé à se décharger complètement en un temps de 5 constantes de temps, ou 500mS avant l’arrivée de la prochaine impulsion d’entrée, alors le graphique des courbes de charge et de décharge ressemblerait à quelque chose comme ceci :

Courbes de Charge/Décharge de l’Intégrateur RC

Notez que le condensateur se décharge d’une valeur initiale de 8.64 volts (2 constantes de temps) et non des 10 volts d’entrée.

Ensuite, nous pouvons voir que comme la constante de temps RC est fixe, toute variation de la largeur de l’impulsion d’entrée influencera la sortie du circuit intégrateur RC. Si la largeur de l’impulsion est augmentée et est égale à ou supérieure à 5RC, alors la forme de l’impulsion de sortie sera similaire à celle de l’entrée, puisque la tension de sortie atteindra la même valeur que l’entrée.

Si cependant, la largeur de l’impulsion est réduite sous 5RC, le condensateur ne se chargera que partiellement et n’atteindra pas la tension maximale d’entrée, résultant en une tension de sortie plus petite car le condensateur ne peut pas se charger autant, résultant en une tension de sortie qui est proportionnelle à l’intégrale de la tension d’entrée.

Donc, si nous supposons une impulsion d’entrée égale à une constante de temps, c’est-à-dire 1RC, le condensateur se chargera et se décharge non pas entre 0 volts et 10 volts mais entre 63,2% et 38,7% de la tension à travers le condensateur au moment de changement. Notez que ces valeurs sont déterminées par la constante de temps RC.

Constante de Temps RC Fixe

Donc pour une entrée d’impulsion continue, la relation correcte entre le temps périodique de l’entrée et la constante de temps RC du circuit, l’intégration de l’entrée se produira produisant une sorte de montée, puis une descente de la sortie.

Mais pour que le circuit fonctionne correctement en tant qu’intégrateur, la valeur de la constante de temps RC doit être grande par rapport au temps périodique des entrées. C’est-à-dire RC ≫ T, généralement 10 fois plus grande.

Cela signifie que l’ampleur de la tension de sortie (qui était proportionnelle à 1/RC) sera très faible entre ses hautes et basses tensions, atténuant sévèrement la tension de sortie. Cela est dû au fait que le condensateur a beaucoup moins de temps pour se charger et se décharger entre les impulsions, mais la tension de sortie continue moyenne augmentera vers la moitié de l’ampleur de l’entrée et dans notre exemple d’impulsion ci-dessus, cela sera 5 volts (10/2).

Intégrateur RC comme Générateur d’Ondes Sinusoidales

Nous avons vu ci-dessus qu’un intégrateur RC peut effectuer l’opération d’intégration en appliquant une entrée d’impulsion résultant en une sortie en onde triangulaire avec montée et descente dues aux caractéristiques de charge et de décharge du condensateur. Mais que se passerait-il si nous inversions le processus et appliquions une forme d’onde triangulaire à l’entrée, obtiendrions-nous une sortie de signal d’onde carrée ?

Lorsque le signal d’entrée d’un circuit intégrateur RC est une entrée en forme d’impulsion, la sortie est une onde triangulaire. Mais lorsque nous appliquons une onde triangulaire, la sortie devient une onde sinusoïdale en raison de l’intégration au fil du temps du signal de montée.

Il existe de nombreuses façons de produire une forme d’onde sinusoïdale, mais une méthode simple et peu coûteuse pour produire électroniquement un type de forme d’onde sinusoïdale consiste à utiliser une paire de circuits intégrateurs RC passifs connectés ensemble en série comme montré.

Intégrateur RC en Onde Sinusoïdale

Voici le premier intégrateur RC qui convertit l’entrée initiale en forme d’impulsion en une forme d’onde triangulaire avec montée et descente qui devient l’entrée du second intégrateur RC. Ce second circuit intégrateur RC arrondit les points de l’onde triangulaire, la convertissant en onde sinusoïdale car il effectue effectivement une double intégration du signal d’entrée original avec la constante de temps RC affectant le degré d’intégration.

Alors que l’intégration d’une montée produit une fonction sinusoïdale (basically une onde triangulaire arrondie), sa fréquence périodique en Hertz sera égale à la période T de l’impulsion originale. Notez également que si nous inversions ce signal et que le signal d’entrée est une onde sinusoïdale, le circuit ne fonctionne pas en tant qu’intégrateur, mais comme un simple filtre passe-bas (LPF) avec l’onde sinusoïdale, étant une forme d’onde pure ne change pas de forme, seule son amplitude est affectée.

Résumé du Tutoriel

Nous avons vu ici que l’intégrateur RC est essentiellement un circuit filtre passe-bas RC en série qui, lorsque une impulsion de tension à pas est appliquée à son entrée, produit une sortie proportionnelle à l’intégrale de son entrée. Cela produit une équation standard de : Vo = ∫Vidt où Vi est le signal alimenté à l’intégrateur et Vo est le signal de sortie intégré.

L’intégration de la fonction d’entrée à pas produit une sortie qui ressemble à une fonction de montée triangulaire avec une amplitude plus petite que celle de l’entrée d’impulsion originale, le montant d’atténuation étant déterminé par la constante de temps. Ainsi, la forme de l’onde de sortie dépend de la relation entre la constante de temps du circuit et la fréquence (période) de l’impulsion d’entrée.

La constante de temps d’un intégrateur RC est toujours comparée à la période, T de l’entrée, donc une longue constante de temps RC produira une forme de vague triangulaire avec une faible amplitude par rapport au signal d’entrée, car le condensateur a moins de temps pour se charger ou se décharger complètement. Une constante de temps courte permet au condensateur plus de temps pour se charger et se décharger, produisant une forme plus typique arrondie.

En connectant deux circuits intégrateurs RC ensemble en parallèle, cela a pour effet une double intégration sur l’impulsion d’entrée. Le résultat de cette double intégration est que le premier circuit intégrateur convertit l’impulsion de tension à pas en une forme d’onde triangulaire et le second circuit intégrateur convertit la forme de l’onde triangulaire en arrondissant les points de l’onde triangulaire produisant une forme d’onde sinusoïdale de sortie avec une amplitude fortement réduite.