Pour un circuit différenciateur RC passif, l’entrée est connectée à un condensateur, tandis que la tension de sortie est prise à travers une résistance, ce qui est exactement l’opposé d’un circuit intégrateur RC.

Un différenciateur RC passif n’est rien d’autre qu’une capacité en série avec une résistance, c’est un dispositif dépendant de la fréquence qui a une réactance en série avec une résistance fixe (contraire à un intégrateur). Tout comme le circuit intégrateur, la tension de sortie dépend de la constante de temps RC du circuit et de la fréquence d’entrée.

Ainsi, à basse fréquence d’entrée, la réactance, X_C, du condensateur est élevée, bloquant toute tension continue ou les signaux d’entrée variant lentement. À des fréquences d’entrée élevées, la réactance des condensateurs est basse, permettant aux impulsions rapidement variables de passer directement de l’entrée à la sortie.

Cela est dû au fait que le rapport de la réactance capacitive (X_C) à la résistance (R) est différent pour différentes fréquences, et plus la fréquence est basse, moins il y a de sortie. Donc, pour une constante de temps donnée, à mesure que la fréquence des impulsions d’entrée augmente, les impulsions de sortie ressemblent de plus en plus aux impulsions d’entrée en forme.

Nous avons vu cet effet dans notre tutoriel sur les Filtres Passe-Haut Passifs et si le signal d’entrée est une onde sinusoïdale, un différenciateur RC agira simplement comme un filtre passe-haut simple (HPF) dont la fréquence de coupure ou le coin correspond à la constante de temps RC (tau, τ) du réseau en série.

Ainsi, lorsqu’il est alimenté par une onde sinusoïdale pure, un circuit différenciateur RC agit comme un simple filtre passe-haut passif en raison de la formule standard de réactance capacitive de X_C = 1/(2πƒC).

Mais un simple réseau RC peut également être configuré pour effectuer la différenciation du signal d’entrée. Nous savons d’après les tutoriels précédents que le courant à travers un condensateur est un exponentiel complexe donné par: i_C = C(dVc/dt). Le taux auquel le condensateur se charge (ou se décharge) est directement proportionnel à la quantité de résistance et de capacitance, donnant la constante de temps du circuit. Ainsi, la constante de temps d’un circuit différenciateur RC est l’intervalle de temps qui égal le produit de R et C. Considérons le circuit RC série de base ci-dessous.

Circuit Différenciateur RC

Pour un circuit différenciateur RC, le signal d’entrée est appliqué à un côté du condensateur, la sortie étant prise à travers la résistance, alors V_OUT équivaut à V_R. Comme le condensateur est un élément dépendant de la fréquence, la quantité de charge établie à travers les plaques est égale à l’intégrale en domaine temporel du courant. Cela signifie qu’il faut un certain temps pour que le condensateur se charge complètement, le condensateur ne pouvant pas se charger instantanément, mais seulement de manière exponentielle.

Nous avons vu dans notre tutoriel sur les Intégrateurs RC que lorsqu’une impulsion de voltage de niveau unique est appliquée à l’entrée d’un intégrateur RC, la sortie devient une onde en dents de scie si la constante de temps RC est suffisamment longue. Le différenciateur RC modifiera également la forme d’onde d’entrée, mais d’une manière différente de l’intégrateur.

Tension sur Résistance

Nous avons dit précédemment que pour le différenciateur RC, la sortie est égale à la tension à travers la résistance, c’est-à-dire: V_OUT est égal à V_R et étant une résistance, la tension de sortie peut changer instantanément.

Cependant, la tension sur le condensateur ne peut pas changer instantanément, mais dépend de la valeur de la capacitance, C, alors qu’il essaie de stocker une charge électrique, Q, à travers ses plaques. Le courant circulant dans le condensateur, c’est-à-dire i_t, dépend alors du taux de variation de la charge sur ses plaques. Ainsi, le courant du condensateur n’est pas proportionnel à la tension mais à sa variation temporelle, donnant: i = dQ/dt.

Comme la quantité de charge sur les plaques du condensateur est égale à Q = C x Vc, soit la capacitance multipliée par la tension, nous pouvons dériver l’équation pour le courant du condensateur comme suit:

Courant du Condensateur

Par conséquent, le courant du condensateur peut être écrit comme:

Puisque V_OUT égale V_R où V_R selon la loi d’Ohm est égal à: i_R x R. Le courant qui circule à travers le condensateur doit également circuler à travers la résistance, car ils sont tous deux connectés ensemble en série. Ainsi:

Ainsi, l’équation standard fournie pour un circuit différenciateur RC est:

Formule du Différenciateur RC

Nous pouvons alors voir que la tension de sortie, V_OUT, est la dérivée de la tension d’entrée, V_IN, qui est pondérée par la constante RC. Où RC représente la constante de temps, τ, du circuit en série.

Différenciateur RC à Impulsion Unique

Lorsqu’une impulsion de voltage de niveau unique est d’abord appliquée à l’entrée d’un différenciateur RC, le condensateur “semble” initialement comme un court-circuit au signal en rapide changement. Cela est dû au fait que la pente dv/dt du bord montant d’une onde carrée est très grande (idéalement infinie), donc à l’instant où le signal apparaît, toute la tension d’entrée passe à travers la sortie apparaissant à travers la résistance.

Après que le bord montant initial du signal d’entrée soit passé et que la valeur de crête de l’entrée soit constante, le condensateur commence à se charger de la manière normale via la résistance en réponse à l’impulsion d’entrée à un rythme déterminé par la constante de temps RC, τ = RC.

À mesure que le condensateur charge, la tension à travers la résistance, et donc la sortie, diminue de manière exponentielle jusqu’à ce que le condensateur soit complètement chargé après une constante de temps de 5RC (5T), résultant en une sortie nulle à travers la résistance. Ainsi, la tension à travers le condensateur complètement chargé est égale à la valeur de l’impulsion d’entrée comme: V_C = V_IN et cette condition est valable tant que l’amplitude de l’impulsion d’entrée ne change pas.

Si maintenant l’impulsion d’entrée change et revient à zéro, le taux de changement du bord descendant de l’impulsion passe à travers le condensateur vers la sortie, le condensateur ne pouvant pas répondre à ce changement élevé de dv/dt. Le résultat est un pic descendant à la sortie.

Après le bord descendant initial du signal d’entrée, le condensateur se remet et commence à se décharger normalement et la tension de sortie à travers la résistance, et donc la sortie, commence à augmenter exponentiellement à mesure que le condensateur se décharge.

Ainsi, chaque fois que le signal d’entrée change rapidement, un pic de tension est produit à la sortie dont la polarité dépend de la direction dans laquelle l’entrée change, un pic positif étant produit avec le bord montant du signal d’entrée, et un pic négatif produit en raison du signal d’entrée descendant.

Ainsi, la sortie d’un différenciateur RC est effectivement un graphique du taux de changement du signal d’entrée qui n’a aucune ressemblance avec l’onde carrée d’entrée, mais consiste en de fines pointes positives et négatives à mesure que l’impulsion d’entrée change de valeur.

En variant la période, T, des impulsions d’entrée de l’onde carrée par rapport à la constante de temps RC fixe de la combinaison en série, la forme des impulsions de sortie changera comme montré.

Formes d’Ondes de Sortie du Différenciateur RC

Nous pouvons alors voir que la forme de l’onde de sortie dépend du rapport entre la largeur de l’impulsion et la constante de temps RC. Lorsque RC est beaucoup plus grand (supérieur à 10RC) que la largeur de l’impulsion, la forme de l’onde de sortie ressemble à l’onde carrée du signal d’entrée. Lorsque RC est beaucoup plus petit (inférieur à 0.1RC) que la largeur de l’impulsion, la forme de l’onde de sortie prend la forme de pointes très nettes et étroites comme montré ci-dessus.

Ainsi, en faisant varier la constante de temps du circuit de 10RC à 0.1RC, nous pouvons produire une gamme de différentes formes d’ondes. En général, une constante de temps plus petite est toujours utilisée dans les circuits différenciateurs RC pour fournir de bonnes impulsions nettes à la sortie à travers R. Ainsi, la dérivée d’une impulsion d’onde carrée (entrée à pas élevé de dv/dt) est un pic infinitésimalement court, résultant en un circuit différenciateur RC.

Supposons qu’une forme d’onde carrée ait une période, T, de 20 mS donnant une largeur d’impulsion de 10 mS (20 mS divisé par 2). Pour que le pic se décharge jusqu’à 37 % de sa valeur initiale, la largeur de l’impulsion doit être égale à la constante de temps RC, c’est-à-dire RC = 10 mS. Si nous choisissons une valeur pour le condensateur, C, de 1 μF, alors R égale 10 kΩ.

Pour que la sortie ressemble à l’entrée, nous avons besoin que RC soit dix fois (10RC) la valeur de la largeur de l’impulsion, donc pour une valeur du condensateur de disons, 1 μF, cela donnerait une valeur de résistance de : 100 kΩ. De même, pour que la sortie ressemble à une impulsion nette, nous avons besoin que RC soit un dixième (0.1RC) de la largeur de l’impulsion, donc pour la même valeur de condensateur de 1 μF, cela donnerait une valeur de résistance de : 1 kΩ, et ainsi de suite.

Exemple de Différenciateur RC

Donc, en ayant une valeur RC d’un dixième de la largeur de l’impulsion (et dans notre exemple ci-dessus, c’est 0.1 x 10 mS = 1 mS) ou moins, nous pouvons produire les pointes requises à la sortie, et plus la constante de temps RC est faible pour une largeur d’impulsion donnée, plus les pointes sont nettes. Ainsi, la forme exacte de l’onde de sortie dépend de la valeur de la constante de temps RC.

Résumé du Différenciateur RC

Nous avons vu ici dans ce tutoriel sur le Différenciateur RC que le signal d’entrée est appliqué à un côté d’un condensateur et que la sortie est prise à travers la résistance. Un circuit différenciateur est utilisé pour produire des impulsions déclencheuses ou de type pic pour des applications de circuit de temps.

Lorsque une entrée à pas d’onde carrée est appliquée à ce circuit RC, elle produit une forme d’onde complètement différente à la sortie. La forme de l’onde de sortie dépend du temps périodique, T (et donc de la fréquence, ƒ) de l’onde carrée d’entrée et de la valeur de la constante de temps RC du circuit.

Lorsque le temps périodique de la forme d’onde d’entrée est similaire ou plus court que (fréquence plus élevée), la constante de temps RC du circuit, l’onde de sortie ressemble à la forme d’onde d’entrée, c’est-à-dire un profil d’onde carrée. Lorsque le temps périodique de la forme d’onde d’entrée est beaucoup plus long que (fréquence plus basse) la constante de temps RC du circuit, l’onde de sortie ressemble à des pointes positives et négatives étroites.

Le pic positif à la sortie est produit par le bord de tête de l’onde carrée d’entrée, tandis que le pic négatif à la sortie est produit par le bord descendant de l’onde carrée d’entrée. Ainsi, la sortie d’un circuit différenciateur RC dépend du taux de changement de la tension d’entrée, l’effet étant très similaire à la fonction mathématique de la différenciation.