Les Filtres d’Ordre Deux, également appelés filtres VCVS, car l’amplificateur opérationnel est utilisé comme un amplificateur à source de tension contrôlée, représentent un autre type important de conception de filtres actifs. En effet, avec les filtres RC d’ordre un actifs que nous avons examinés précédemment, des circuits de filtres d’ordre supérieur peuvent être conçus à leur aide.

Dans cette section de tutoriels sur les filtres analogiques, nous avons examiné à la fois des conceptions de filtres passifs et actifs et avons constaté que les filtres d’ordre un peuvent être facilement convertis en filtres d’ordre deux simplement en utilisant un réseau RC supplémentaire dans le chemin d’entrée ou de retour. Nous pouvons définir les filtres d’ordre deux comme étant : « deux filtres de premier ordre en cascade avec amplification ».

La plupart des conceptions de filtres d’ordre deux sont généralement nommées d’après leur inventeur, les types de filtres les plus courants étant : Butterworth, Chebyshev, Bessel et Sallen-Key. Tous ces types de conceptions de filtres sont disponibles sous forme de filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande et filtres en stop (notch), et étant des filtres d’ordre deux, tous ont un taux de coupure de 40 dB par décade.

La conception du filtre Sallen-Key est l’un des designs de filtres d’ordre deux les plus connus et populaires, nécessitant uniquement un amplificateur opérationnel pour le contrôle du gain et quatre composants RC passifs pour accomplir l’accord.

La plupart des filtres actifs se composent uniquement d’amplificateurs opérationnels, de résistances et de condensateurs, le point de coupure étant atteint grâce à l’utilisation de feedback, éliminant ainsi le besoin d’inducteurs comme dans les circuits de filtres passifs d’ordre un.

Les filtres actifs d’ordre deux, qu’ils soient passe-bas ou passe-haut, sont importants en électronique car nous pouvons les utiliser pour concevoir des filtres d’un ordre beaucoup plus élevé avec un taux de coupure très abrupt. En cascade avec des filtres d’ordre un et deux, des filtres analogiques avec une valeur d’ordre n^th, que ce soit impair ou pair, peuvent être construits jusqu’à toute valeur raisonnable.

Filtre Passe-Bas d’Ordre Deux

Les filtres passe-bas d’ordre deux sont faciles à concevoir et sont largement utilisés dans de nombreuses applications. La configuration de base d’un filtre passe-bas d’ordre deux Sallen-Key est donnée comme suit :

Filtre Passe-Bas d’Ordre Deux

Ce circuit de filtre passe-bas d’ordre deux a deux réseaux RC, R1 – C1 et R2 – C2 qui donnent au filtre ses propriétés de réponse en fréquence. La conception du filtre est basée sur une configuration d’amplificateur opérationnel non-inversé, donc le gain du filtre, A, sera toujours supérieur à 1. De plus, l’amplificateur opérationnel a une haute impédance d’entrée, ce qui signifie qu’il peut être facilement en cascade avec d’autres circuits de filtres actifs pour obtenir des conceptions de filtres plus complexes.

La réponse en fréquence normalisée du filtre passe-bas d’ordre deux est déterminée par le réseau RC et est généralement identique à celle du type d’ordre un. La principale différence entre un filtre passe-bas d’ordre un et deux est que le taux de coupure dans la bande d’arrêt sera deux fois plus pour les filtres d’ordre un à 40 dB/décade (12 dB/octave) à mesure que la fréquence de fonctionnement augmente au-delà de la fréquence de coupure ƒc, point comme montré.

Réponse en Fréquence Normalisée des Passe-Bas

Le diagramme de réponse en fréquence Bode ci-dessus est essentiellement le même que celui d’un filtre d’ordre un. La différence cette fois étant l’acuité de la coupure qui est de -40dB/décade dans la bande d’arrêt. Toutefois, les filtres d’ordre deux peuvent présenter une variété de réponses selon le facteur d’amplification en tension du circuit, Q, au point de fréquence de coupure.

Dans les filtres actifs d’ordre deux, le facteur d’amortissement, ζ (zeta), qui est l’inverse de Q, est généralement utilisé. Q et ζ sont déterminés indépendamment par le gain de l’amplificateur, A, donc à mesure que Q diminue, le facteur d’amortissement augmente. En termes simples, un filtre passe-bas sera toujours passe-bas par nature, mais peut présenter un pic résonnant à proximité de la fréquence de coupure, c’est-à-dire que le gain peut augmenter rapidement en raison des effets de résonance du gain des amplificateurs.

Le Facteur de Qualité, “Q”

Nous pouvons ainsi voir que le gain du filtre, A pour une configuration d’amplificateur non-inversé doit se situer entre 1 et 3 (le facteur d’amortissement, ζ entre zéro et 2). Par conséquent, des valeurs plus élevées de Q, ou des valeurs plus faibles de ζ, donnent un plus grand pic à la réponse et un taux de coupure initial plus rapide comme montré.

Réponse en Amplitude du Filtre d’Ordre Deux

La réponse en amplitude du filtre passe-bas d’ordre deux varie pour différents valeurs du facteur d’amortissement, ζ. Quand ζ = 1.0 ou plus (2 est le maximum), le filtre devient ce qu’on appelle “sur-amorti” avec la réponse en fréquence montrant une longue courbe plate. Quand ζ = 0, la sortie du filtre atteint un pic brusque au point de coupure ressemblant à un point aigu, indiquant que le filtre est dit “sous-amorti”.

Il existe donc un point entre ζ = 0 et ζ = 2.0 où la réponse en fréquence a la bonne valeur, et effectivement, c’est quand le filtre est “critique” et ça a lieu lorsque ζ = 0.7071.

Une dernière note, lorsque la quantité de retour atteint 4 ou plus, le filtre commence à osciller par lui-même au point de fréquence de coupure en raison des effets de résonance, transformant le filtre en oscillateur. Cet effet est appelé oscillation autonome. Pour un filtre passe-bas d’ordre deux, Q et ζ jouent un rôle critique.

Nous pouvons voir dans les courbes de réponse en fréquence normalisées ci-dessus pour un filtre d’ordre un (ligne rouge) que le gain dans la bande passante reste plat, jusqu’au point de fréquence de coupure : ƒ = ƒr, et le gain du filtre diminue au-delà de sa fréquence de coin à 1/√2, ou 0.7071 de sa valeur maximale. Ce point est généralement désigné comme le -3dB du filtre ; pour un filtre passe-bas d’ordre un, le facteur d’amortissement sera égal à un, (ζ = 1).

Cependant, ce point de coupure -3dB sera à une position de fréquence différente pour les filtres d’ordre deux en raison du taux de coupure plus raide de -40dB/décade (ligne bleue). En d’autres termes, la fréquence de coin, ƒr, change de position à mesure que l’ordre du filtre augmente. Alors pour ramener le point -3dB des filtres d’ordre deux à la même position que le filtre d’ordre un, nous devons ajouter une petite quantité de gain au filtre.

Donc pour une conception de filtre passe-bas d’ordre deux de Butterworth, le gain serait de : 1.586, pour une conception de filtre d’ordre deux de Bessel : 1.268, et pour un design passe-bas de Chebyshev : 1.234.

Exemple de Filtres d’Ordre Deux No1

Un Filtre Passe-Bas d’Ordre Deux doit être conçu autour d’un amplificateur opérationnel non-inversé avec des valeurs de résistances et de condensateurs égales dans son circuit déterminant la fréquence de coupure. Si les caractéristiques du filtre sont données : Q = 5, et ƒc = 159Hz, concevez un filtre passe-bas approprié et dessinez sa réponse en fréquence.

Caractéristiques données : R1 = R2, C1 = C2, Q = 5 et ƒc = 159Hz

Dans le circuit ci-dessus, nous savons que pour des résistances et capacités égales, le point de fréquence de coupure, ƒc est donné comme suit :

En choisissant une valeur convenable de disons, 10kΩ pour les résistances, la valeur du condensateur résultant est calculée comme suit :

Ainsi, pour une fréquence de coin de 159Hz, R = 10kΩ et C = 0.1uF.

Avec une valeur de Q = 5, le gain du filtre, A est calculé comme suit :

Nous savons ci-dessus que le gain d’un amplifier opérationnel non-inversé est donné comme suit :

Par conséquent, le circuit final pour le filtre passe-bas d’ordre deux est donné comme suit :

Circuit de Filtres Passe-Bas d’Ordre Deux

Nous pouvons voir que la “picure” de la courbe de réponse en fréquence est assez nette au point de coupure en raison de la valeur élevée du facteur de qualité, Q = 5. À ce point, le gain du filtre est donné comme suit : Q × A = 14, ou environ +23dB, une grande différence avec la valeur calculée de 2.8, (+8.9dB).

Cependant, de nombreux livres, comme celui de droite, nous informent que le gain du filtre au point de fréquence de coupure normalisé, etc., devrait être au point -3dB. En abaissant considérablement la valeur de Q à une valeur de 0.7071, cela donne un gain, A = 1.586 et une réponse en fréquence qui est maximement plate dans la bande passante avec une atténuation de -3dB au point de coupure, comme pour la réponse de filtre d’ordre deux de Butterworth.

Jusqu’à présent, nous avons vu que les filtres d’ordre deux peuvent avoir leur point de fréquence de coupure réglé à n’importe quelle valeur désirée mais peuvent être variés loin de cette valeur grâce au facteur d’amortissement, ζ. Les conceptions de filtres actifs permettent à l’ordre du filtre d’aller jusqu’à n’importe quelle valeur raisonnable en cascade avec des sections de filtres.

Dans la pratique, lorsque vous concevez des filtres passe-bas d’ordre n^th, il est souhaitable de régler la fréquence de coupure pour la première section d’ordre (si l’ordre du filtre est impair) et de régler le facteur d’amortissement et le gain correspondant pour chacune des sections d’ordre deux afin que la réponse globale correcte soit obtenue. Pour faciliter la conception des filtres passe-bas, les valeurs de ζ, Q et A sont disponibles sous forme tabulée pour les filtres actifs comme nous le verrons dans le tutoriel sur le filtre Butterworth. Voyons un autre exemple.

Exemple de Filtres d’Ordre Deux No2

Concevez un filtre passe-bas non-inversé d’ordre deux qui aura les caractéristiques de filtre suivantes : Q = 1, et ƒc = 79.5Hz.

A partir de ce qui précède, la fréquence de coin, ƒc, du filtre est donnée comme suit :

En choisissant une valeur convenable de 1kΩ pour les résistances du filtre, les valeurs des condensateurs résultants sont alors calculées comme suit :

En conséquence, pour une fréquence de coin de 79.5Hz, ou 500 rad/s, R = 1kΩ et C = 2.0uF.

Avec une valeur de Q = 1 donnée, le gain du filtre A est calculé comme suit :

Le gain en tension pour un circuit d’amplificateur non-inversé a été donné précédemment comme :

Par conséquent, le circuit du filtre passe-bas d’ordre deux, qui a un Q de 1, et une fréquence de coin de 79.5Hz est donné comme suit :

Circuit de Filtre Passe-Bas

Filtres Passe-Haut d’Ordre Deux

Il y a très peu de différence entre la configuration du filtre passe-bas d’ordre deux et celle du filtre passe-haut d’ordre deux, la seule chose qui a changé étant la position des résistances et des condensateurs comme montré.

Filtres Passe-Haut d’Ordre Deux

Puisque les filtres passe-haut et passe-bas d’ordre deux sont les mêmes circuits, excepté que la position des résistances et des condensateurs est échangée, la conception et les procédures de mise à l’échelle de fréquence pour le filtre passe-haut sont exactement les mêmes que celles du filtre passe-bas précédent. Ainsi, le diagramme de Bode pour un filtre passe-haut d’ordre deux est donc donné comme suit :

Réponse en Fréquence Normalisée des Passe-Haut

Comme pour le filtre passe-bas précédent, l’acuité de la coupure dans la bande d’arrêt est -40dB/décade.

Dans les deux circuits ci-dessus, la valeur du gain en tension de l’amplificateur opérationnel, (Av) est fixée par le réseau de rétroaction de l’amplificateur. Cela définit seulement le gain pour les fréquences bien à l’intérieur de la bande passante du filtre. Nous pouvons choisir d’amplifier la sortie et de fixer cette valeur de gain par la quantité qui convient à notre usage et définir ce gain comme une constante, K.

Les filtres Sallen-Key d’ordre deux sont également appelés filtres à rétroaction positive puisque la sortie est renvoyée dans la borne positive de l’amplificateur opérationnel. Ce type de conception de filtre actif est populaire car il nécessite seulement un amplificateur opérationnel, rendant ainsi son coût relativement faible.