Dans les précédents tutoriels sur les filtres, nous avons examiné des filtres passe-bas et passe-haut simples de premier ordre, ne contenant qu’une seule résistance et un unique composant réactif (un condensateur) dans leur conception de circuit RC.
Le filtre Butterworth est une conception de filtre analogique qui produit la meilleure réponse en sortie sans ondulation dans la bande passante ou la bande d’arrêt, entraînant une réponse de filtre maximally flat, mais au prix d’une bande de transition relativement large.
Dans les applications qui utilisent des filtres pour modeler le spectre de fréquence d’un signal, comme dans les systèmes de communication ou de contrôle, la forme ou la largeur de la chute, également appelée “bande de transition”, est importante. Pour les filtres simples de premier ordre, cette bande de transition peut être trop longue ou trop large, nécessitant ainsi des filtres actifs conçus avec plus d’un “ordre”. Ces types de filtres sont communément appelés “filtres de haut ordre” ou “nth ordre”.
La complexité ou le type de filtre est défini par l’”ordre” du filtre, qui dépend du nombre de composants réactifs, tels que les condensateurs ou les inducteurs, dans sa conception. Nous savons également que le taux de chute, et donc la largeur de la bande de transition, dépend du numéro d’ordre du filtre. Pour un filtre simple de premier ordre, le taux de chute standard est de 20 dB/décade ou 6 dB/octave.
Donc, pour un filtre ayant un ordre nth, il aura un taux de chute subséquent de 20n dB/décade ou 6n dB/octave. Ainsi, un filtre de premier ordre a un taux de chute de 20 dB/décade (6 dB/octave), un filtre de second ordre a un taux de chute de 40 dB/décade (12 dB/octave), et un filtre de quatrième ordre a un taux de chute de 80 dB/décade (24 dB/octave), etc.
Les filtres de haut ordre, tels que les filtres de troisième, de quatrième et de cinquième ordre sont généralement formés en enchaînant ensemble des filtres de premier et de second ordre.
Par exemple, deux filtres passe-bas de second ordre peuvent être mis en cascade pour produire un filtre passe-bas de quatrième ordre, et ainsi de suite. Bien qu’il n’y ait pas de limite à l’ordre du filtre qui peut être formé, à mesure que l’ordre augmente, sa taille et son coût augmentent également, tout en diminuant son exactitude.
Décades et Octaves
Un dernier commentaire sur les Décades et les Octaves. Sur l’échelle de fréquence, une Décade est une augmentation par facteur dix (multiplier par 10) ou une diminution par facteur dix (diviser par 10). Par exemple, la plage de 2 à 20 Hz représente une décade, tandis que de 50 à 5000 Hz représente deux décades (50 à 500 Hz puis 500 à 5000 Hz).
Une Octave est un doublement (multiplier par 2) ou un partage par 2 (diviser par 2) de l’échelle de fréquence. Par exemple, 10 à 20 Hz représente une octave, tandis que de 2 à 16 Hz représente trois octaves (2 à 4, 4 à 8 et enfin 8 à 16 Hz) en doublant la fréquence à chaque fois. De toute façon, les échelles Logarithmiques sont utilisées de manière extensive dans le domaine des fréquences pour indiquer une valeur de fréquence lors du travail avec des amplificateurs et des filtres, il est donc important de les comprendre.
Échelle de Fréquence Logarithmique
Puisque les résistances déterminantes de fréquence sont toutes égales, tout comme les condensateurs déterminants de fréquence, la fréquence de coupure ou fréquence de coin ( ƒC ) pour un filtre de premier, second, troisième ou même quatrième ordre doit également être égale et est trouvée en utilisant notre équation familière :
Comme avec les filtres de premier et de second ordre, les filtres passe-haut de troisième et quatrième ordre sont formés simplement en intervertissant les positions des composants déterminants de fréquence (résistances et condensateurs) dans le filtre passe-bas équivalent. Les filtres de haut ordre peuvent être conçus en suivant les procédures que nous avons vues précédemment dans les tutoriels sur les filtres passe-bas et passe-haut. Cependant, le gain global des filtres de haut ordre est fixe car tous les composants déterminants de fréquence sont égaux.
Approximation des Filtres
Jusqu’à présent, nous avons examiné des circuits de filtres passe-bas et passe-haut de premier ordre, ainsi que leurs réponses de fréquence et de phase respectives. Un filtre idéal nous donnerait des spécifications de gain maximal passe-bande et de planéité, une atténuation minimale de la bande d’arrêt et également une descente très raide de la bande passante à la bande d’arrêt (la bande de transition), et il est donc évident qu’un grand nombre de réponses de réseau pourraient satisfaire à ces exigences.
Il n’est donc pas surprenant qu’il existe un certain nombre de “fonctions d’approximation” dans la conception de filtres analogiques linéaires qui utilisent une approche mathématique pour mieux approximer la fonction de transfert dont nous avons besoin pour la conception des filtres.
Ces conceptions sont connues sous les noms Elliptique, Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer ainsi que de nombreuses autres. Parmi ces cinq “fonctions d’approximation” linéaires analogiques classiques, seul le Filtre Butterworth, et en particulier la conception du filtre passe-bas Butterworth, sera considéré ici comme étant la fonction la plus couramment utilisée.
Conception du Filtre Passe-Bas Butterworth
La réponse en fréquence de la fonction d’approximation Filtre Butterworth est souvent décrite comme ayant une réponse « maximally flat » (sans ondulations) parce que la bande passante est conçue pour avoir une réponse en fréquence qui est aussi plate que mathématiquement possible à partir de 0 Hz (DC) jusqu’à la fréquence de coupure à -3 dB, sans ondulations. Les fréquences plus élevées au-delà de ce point de coupure chutent vers zéro dans la bande d’arrêt avec un taux de 20 dB/décade ou 6 dB/octave. Cela est dû à un “facteur de qualité”, “Q”, de seulement 0,707.
Cependant, un inconvénient majeur du filtre Butterworth est qu’il parvient à cette planéité de la bande passante au prix d’une bande de transition large, alors que le filtre passe de la bande passante à la bande d’arrêt. Il a également de mauvaises caractéristiques de phase. La réponse de fréquence idéale, qualifiée de filtre “mur de briques”, et les approximations standards de Butterworth pour différents ordres de filtre sont données ci-dessous.
Réponse de Fréquence Idéale pour un Filtre Butterworth
Notez que plus l’ordre du filtre Butterworth est élevé, plus le nombre d’étapes en cascade à l’intérieur de la conception du filtre est important, et plus le filtre se rapproche de la réponse idéale de “mur de briques”.
En pratique cependant, la réponse idéale en fréquence de Butterworth est inatteignable car elle produit une ondulation de bande passante excessive.
Où l’équation généralisée représentant un filtre Butterworth d’ordre “n” est donnée par :
Où : n représente l’ordre du filtre, Oméga ω est égal à 2πƒ et Épsilon ε est le gain maximum de la bande passante, (Amax). Si Amax est défini à une fréquence égale au point de coupure à -3 dB (ƒc), ε sera alors égal à un et donc ε2 sera également un. Cependant, si vous souhaitez maintenant définir Amax à une autre valeur de gain de tension, par exemple 1 dB, ou 1,1220 (1 dB = 20*logAmax) alors la nouvelle valeur d’épsilon, ε est trouvée par :
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Transposez l’équation pour obtenir :
La Réponse en Fréquence d’un filtre peut être définie mathématiquement par sa Fonction de Transfert avec la Fonction de Transfert de Tension standard H(jω) écrite comme :
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Notez que ( jω ) peut également être écrit comme ( s ) pour désigner le domaine S. et la fonction de transfert résultante pour un filtre passe-bas de second ordre est donnée comme :
Pôles Normalisés de Filtre Passe-Bas Butterworth
Pour aider à la conception de ses filtres passe-bas, Butterworth a produit des tableaux standards de polynômes normalisés de second ordre de passe-bas, donnés par les valeurs de coefficients qui correspondent à une fréquence de coupure de 1 radian/sec.
| n | Polynômes Dénominateurs Normalisés en Forme Facteur |
| 1 | (1+s) |
| 2 | (1+1.414s+s2) |
| 3 | (1+s)(1+s+s2) |
| 4 | (1+0.765s+s2)(1+1.848s+s2) |
| 5 | (1+s)(1+0.618s+s2)(1+1.618s+s2) |
| 6 | (1+0.518s+s2)(1+1.414s+s2)(1+1.932s+s2) |
| 7 | (1+s)(1+0.445s+s2)(1+1.247s+s2)(1+1.802s+s2) |
| 8 | (1+0.390s+s2)(1+1.111s+s2)(1+1.663s+s2)(1+1.962s+s2) |
| 9 | (1+s)(1+0.347s+s2)(1+s+s2)(1+1.532s+s2)(1+1.879s+s2) |
| 10 | (1+0.313s+s2)(1+0.908s+s2)(1+1.414s+s2)(1+1.782s+s2)(1+1.975s+s2) |
Conception du Filtre – Butterworth Passe-Bas
Trouvez l’ordre d’un filtre passe-bas Butterworth actif dont les spécifications sont données comme suit : Amax = 0.5 dB à une fréquence de bande passante (ωp) de 200 radians/sec (31,8 Hz), et Amin = -20 dB à une fréquence de bande d’arrêt (ωs) de 800 radians/sec. Concevez également un circuit de filtre Butterworth adapté pour répondre à ces exigences.
Tout d’abord, le gain maximum de bande passante Amax = 0.5 dB, ce qui correspond à un gain de 1.0593, rappelez-vous que : 0.5 dB = 20*log(A) à une fréquence (ωp) de 200 rads/s, donc la valeur d’épsilon ε se trouve par :
Deuxièmement, le gain minimum de bande d’arrêt Amin = -20 dB, ce qui correspond à un gain de 10 (-20 dB = 20*log(A)) à une fréquence de bande d’arrêt (ωs) de 800 rads/s ou 127,3 Hz.
En substituant les valeurs dans l’équation générale pour la réponse en fréquence des filtres Butterworth, nous obtenons ce qui suit :
Puisque n doit toujours être un entier (un nombre entier), la valeur entière la plus proche de 2.42 est n = 3, donc un “filtre de troisième ordre est requis” et pour produire un filtre Butterworth de troisième ordre, une étape de filtre de second ordre est mise en cascade avec une étape de filtre de premier ordre.
À partir de la table des polynômes normalisés de filtre passe-bas Butterworth ci-dessus, le coefficient pour un filtre de troisième ordre est donné par (1+s)(1+s+s2) et cela nous donne un gain de 3-A = 1, ou A = 2. Comme A = 1 + (Rf/R1), choisir une valeur pour la résistance de retour Rf et la résistance R1 nous donne des valeurs de 1kΩ et 1kΩ respectivement puisque : ( 1kΩ/1kΩ ) + 1 = 2.
Nous savons que la fréquence de coupure, le point à -3 dB (ωo) peut être trouvée en utilisant la formule 1/CR, mais nous devons trouver ωo à partir de la fréquence de bande passante ωp alors,
Donc, la fréquence de coupure est donnée comme 284 rads/s ou 45.2 Hz, (284/2π) et en utilisant la formule familière 1/CR, nous pouvons trouver les valeurs des résistances et des condensateurs pour notre circuit de troisième ordre.
Notez que la valeur préférée la plus proche de 0.352µF serait 0.36µF, ou 360nF.
Filtre Passe-Bas Butterworth de Troisième Ordre
Enfin, notre circuit du filtre passe-bas Butterworth de troisième ordre avec une fréquence de coin de 284 rads/s ou 45.2 Hz, un gain maximum de bande passante de 0.5 dB et un gain minimum de bande d’arrêt de 20 dB est construit comme suit.
Donc, pour notre filtre passe-bas Butterworth de 3e ordre avec une fréquence de coin de 45.2 Hz, C = 360nF et R = 10kΩ
