Introduction au Théorème de Superposition

Le Théorème de Superposition est un autre outil d’analyse de circuit que nous pouvons utiliser pour trouver les tensions et les courants dans un circuit électrique linéaire. Si un circuit contient une ou plusieurs sources indépendantes de tension et/ou de courant, nous pouvons utiliser le théorème de superposition pour trouver la contribution en tension et/ou en courant de chaque source individuelle, puis les additionner algébriquement pour obtenir les valeurs réelles de tension et/ou de courant à tout point du circuit.

Autrement dit, nous pouvons utiliser le théorème de superposition pour superposer ou additionner algébriquement les tensions et les courants dans un circuit dus à chaque source indépendante agissant seule, afin d’obtenir la tension totale à travers ou le courant au travers d’un élément de circuit ou d’un nœud particulier.

L’avantage d’utiliser le théorème de superposition plutôt que l’analyse de maille ou l’analyse nodale précédente est que les mathématiques deviennent plus simples, car nous n’avons pas besoin d’utiliser des déterminants, des équations simultanées ou de l’algèbre matricielle pour analyser un circuit électrique donné. Par conséquent, la superposition est un outil pratique pour analyser à la fois des circuits CC et CA qui peuvent contenir de nombreuses sources actives différentes.

Cependant, le désavantage du théorème de superposition est qu’il ne s’applique qu’aux circuits linéaires. Heureusement pour nous, les relations v, i pour les composants passifs de résistance, (R), inductance, (L) et capacitance, (C) sont tous linéaires.

Annoncer les Sources dans le Circuit

Comme avec les techniques d’analyse de circuit précédentes (lois de Kirchhoff, Théorème de Thévenin, Théorème de Norton, etc.), nous devons « éteindre » toutes les sources dans un circuit, ne laissant qu’une seule source de tension idéale ou une seule source de courant idéale pour l’analyse du circuit. Cela se fait facilement en court-circuitant toutes les sources de courant et en circuitant toutes les sources de tension pour trouver l’effet d’une source de tension ou de courant particulière sur le circuit.

C’est-à-dire qu’en remplaçant une source de tension par un court-circuit, nous l’annulons effectivement puisque la chute de tension à travers un court-circuit est zéro volts, v = 0. En revanche, en remplaçant une source de courant par un circuit ouvert, cela l’annule efficacement, (i = 0) puisque aucun courant ne peut circuler à travers un circuit ouvert (supposant des sources idéales).

Notez que les sources dépendantes n’affichent pas une valeur de tension ou de courant fixe, mais sont contrôlées dans un circuit par un autre courant ou tension dans le circuit ou par une source externe et, en tant que telles, ne peuvent pas être éteintes ou désactivées.

Analyser le Circuit Type T

Commençons par considérer le circuit DC en T des tutoriels précédents.

Nous devons trouver le courant circulant à travers la résistance centrale de 40Ω, R₃. C’est-à-dire I₃.

Analyser le circuit dans le sens des aiguilles d’une montre ou dans le sens inverse n’influence pas le résultat final, tant que nous maintenons la constance tout au long de la procédure d’analyse. Commençons par remplacer la batterie de 20 volts par un court-circuit, de sorte que la batterie de 10V agisse seule sur le circuit comme indiqué ci-dessous.

Il peut être constaté qu’en court-circuitant la source de tension V₂ à la terre, la résistance droite de 20Ω est maintenant effectivement en parallèle avec la résistance centrale de 40Ω. Ainsi, en tant que deux résistances connectées en parallèle, leur résistance équivalente en parallèle est calculée comme :

La résistance de gauche de 10Ω, R₁ est en série avec la résistance équivalente parallèle R_EQ1 de 13.33Ω, ce qui donne une résistance totale de circuit en série de (10 + 13.33) = 23.33Ω pour que le courant I₁ circule.

Calculs du Courant, I_R3(1)

Le courant circulant à travers la résistance de 40Ω, R₃ alimentée par la source de 10 volts, V₁ est calculé comme suit :

I_R3(1) = V_A/R₃ = 5.71/40 = 0.143A, ou 143mA

Par conséquent, le courant circulant à travers la résistance R₃ en raison de la tension de la batterie de 10V, V₁ agissant seule dans le circuit est 143mA.

Nous pouvons vérifier cette valeur si nous le souhaitons, car il y a deux branches parallèles de résistances 40Ω et 20Ω à travers la tension de 5.71 volts V_A au nœud A :

I₁ = 10/23.33 = 0.429A, et I_R2 = 5.71/20 = 0.286A

Donc : I_R3(1) = I₁ – I_R2 = 0.429 – 0.286 = 0.143A, ou 143mA (correct)

Calculs du Courant, I_R3(2)

En utilisant la même méthode et logique de calcul que précédemment, nous pouvons maintenant calculer le courant circulant à travers la résistance, R₃ alimentée par la tension de la batterie de 20 volts V₂.

La batterie de 10 volts, V₁ est remplacée par un court-circuit, de sorte que la batterie de 20 volts, V₂ agisse seule dans le circuit. Encore une fois, il y a deux branches parallèles de résistances R₁ et R₃ et leur résistance équivalente en parallèle est calculée comme :

Maintenant, la résistance de droite de 20Ω R₂ est en série avec la résistance équivalente parallèle R_EQ2 de 8Ω, donnant une résistance totale de série de (20 + 8) = 28Ω pour que le courant I₂ circule.

Calcul du Courant à Node A

En utilisant à nouveau la règle du diviseur de tension, nous pouvons trouver la tension au nœud A en raison de V₂.

Par coïncidence, cette tension de 5.71 volts au nœud A est la même valeur pour les deux sources de tension agissant dans chaque direction. Ensuite, le courant circulant à travers la résistance de 40Ω, R₃ alimentée par la source de la batterie de 20 volts, V₂ est calculé à nouveau comme étant :

I_R3(2) = V_A/R₃ = 5.71/40 = 0.143A, ou 143mA

Maintenant, pour trouver la valeur finale et la direction de I_R3, nous trouvons simplement la somme algébrique des deux courants calculés, I_R3(1) et I_R3(2) comme suit :

Magnitude et Direction de I_R3

I_R3 = I_R3(1) + I_R3(2) = 0.143 + 0.143 = 0.286, ou 286mA

Ce qui correspond à la même valeur de 0.286 Ampères que nous avons trouvée en utilisant les lois de circuit de Kirchhoff, Thévenin, et les théorèmes de Norton dans les tutoriels d’analyse de circuit précédents.

Nous pouvons utiliser la loi d’Ohm pour calculer la tension au nœud A, et donc la chute de tension à travers R₃, lorsque les deux sources de tension sont reconnectées dans le circuit. En utilisant la loi d’Ohm, V_R3 = I_R3 x R₃ = 0.286 x 40 = 11.44 volts. C’est encore la même valeur recueillie dans les précédents tutoriels d’analyse de circuit.

Nous avons donc vu ici que le théorème de superposition peut être utilisé pour simplifier les calculs impliqués dans l’analyse de tout réseau linéaire ayant deux ou plusieurs sources de tension/courant. Ce théorème pourrait également s’appliquer à tout réseau contenant à la fois des sources CC et CA.

Cependant, notez que le théorème de superposition ne s’applique pas à la PUISSANCE, car la puissance électrique est une quantité non linéaire, étant directement proportionnelle au carré du courant (I²*R) et inversement proportionnelle au carré de la tension, (V²/R).

Exemple du Théorème de Superposition No2

Introduisons maintenant une source de courant et utilisons le théorème de superposition pour trouver la chute de tension à travers la résistance de 2Ω, R₁ dans le circuit suivant.

Circuit de Superposition

Encore une fois, pour analyser le circuit, nous devons court-circuiter les sources de tension et ouvrir les sources de courant pour ne laisser qu’une seule source d’emf alimentant le circuit à un moment donné. Pour commencer, nous allons ouvrir le circuit de la source de courant de 8A et analyser le circuit en utilisant la source de 20V comme montré.

Nous pouvons voir clairement que le circuit ressemble maintenant à un circuit de résistances en série connecté à V₁. La loi de tension de Kirchhoff (KVL) donne V₁ comme étant : I₁(R₁ + R₂ + R₃) et nous pouvons utiliser la loi d’Ohm pour trouver le courant, I₁ circulant dans ce circuit en série.

Donc, s’il y a 2 ampères circulants autour du circuit en série. La chute de tension individuelle à travers la résistance R₁ est calculée comme étant :

V_R1(1) = I₁ x R₁ = 2 x 2 = 4 volts

Analyse Supplémentaire

Il y a donc une chute de tension de 4 volts à travers la résistance R₁ due à la source de batterie de 20 volts. Nous pourrions également utiliser la règle du diviseur de tension pour trouver les chutes de tension restantes autour du reste de la boucle si nous le souhaitons.

Si V₁ est maintenant court-circuité (source de tension) et que la source de courant de 8A est reconnectée dans le circuit. Le circuit ressemble maintenant à :

Nous pouvons maintenant voir que nous avons des résistances connectées en parallèle à travers la source de courant de 8 ampères produisant ce qu’on appelle communément un circuit diviseur de courant. La source de courant est appliquée à deux branches parallèles. L’une contenant des résistances R₁ et R₂ en série, et une deuxième branche contenant la résistance R₃ seule.

La loi de courant de Kirchhoff (KCL) nous dit que le courant total dans le circuit est égal à la somme de tous les courants des branches parallèles. C’est-à-dire : I_T = 8A = I₁ + I₂ et comme nous sommes intéressés à connaître la tension à travers la résistance R₁, nous devons trouver le courant circulant dans cette branche parallèle.

La règle du diviseur de courant stipule que le courant à travers une branche est égal au courant total multiplié par le ratio du courant total. Le courant à travers la branche parallèle R₁ et R₂ est calculé comme :

Comme il y a 4 ampères circulant à travers la branche parallèle de résistances R₁ et R₂, nous pouvons trouver la chute de tension à travers R₁ en utilisant la loi d’Ohm comme suit.

V_R1(2) = I₁ x R₁ = 4 x 2 = 8 volts

Résultat Final

Notez que si la valeur résistive de chaque branche parallèle est la même (comme dans cet exemple), le courant sera divisé également entre chaque branche. Si les valeurs résistives sont différentes, le courant sera moins élevé dans la branche ayant la plus grande valeur résistive, et vice versa.

Par conséquent, avec la source de courant de 8A et la source de tension de 20V reconnectées dans le circuit, la véritable tension à travers la résistance R₁ est donnée par :

V_R1 = V_R1(1) + V_R1(2) = 4V + 8V = 12 Volts

Encore une fois, nous pouvons utiliser les mêmes techniques d’analyse pour trouver les chutes de tension à travers les résistances R₂ et R₃.

Résumé du Théorème de Superposition

Nous avons vu ici que dans tout circuit linéaire contenant plusieurs sources de tension ou de courant indépendants, nous pouvons utiliser le Théorème de Superposition pour trouver la tension à travers et/ou le courant à travers chaque élément du circuit produit par ces sources indépendantes agissant seules, puis combiner leurs effets sur le circuit.

Pour que le théorème de superposition fonctionne précisément, toutes les sources de tension idéales sont remplacées par des courts-circuits et toutes les sources de courant idéales sont remplacées par des circuits ouverts. Notez que les sources non idéales sont généralement remplacées par leurs résistances internes.

Ensuite, la procédure de base pour résoudre tout circuit en utilisant le Théorème de Superposition est la suivante :

• 1. Identifier toutes les sources indépendantes dans le circuit, telles que les sources de tension et les sources de courant, et sélectionner juste une source dans le circuit.
• 2. Éteindre (court-circuit ou circuit ouvert) toutes les autres sources indépendantes et analyser le circuit en utilisant uniquement une seule source active.
• 3. Utiliser des techniques d’analyse standard de circuit (Loi d’Ohm, lois de Kirchhoff) pour déterminer la tension à travers ou le courant à travers l’élément de circuit souhaité, la branche ou le nœud en raison de la source sélectionnée.
• 4. Répétez pour chaque source indépendante, une à la fois, en considérant uniquement les effets de cette source tout en gardant toutes les autres éteintes.
• 5. Sommez algébriquement les réponses individuelles obtenues de chaque source pour trouver la réponse totale à l’élément de circuit, la branche ou le nœud d’intérêt.
• 6. Faites attention aux polarités, aux conventions de signes et à la direction de l’écoulement des réponses combinées lorsque toutes les sources agissent simultanément.

Notez que bien que le théorème de superposition ne s’applique qu’aux circuits linéaires, il peut ne pas être pratique pour les circuits ayant un grand nombre de sources indépendantes, car l’analyse peut devenir lourde. Dans ce cas, d’autres méthodes d’analyse de circuit comme l’analyse nodale ou l’analyse de maille pourraient être plus utiles et efficaces.