La loi des courants de Kirchhoff

Pour déterminer la quantité ou l’intensité du courant électrique circulant dans un circuit électrique ou électronique, il est nécessaire d’utiliser certaines lois ou règles qui nous permettent d’écrire ces courants sous forme d’une équation. Les équations de réseau utilisées sont celles selon les lois de Kirchhoff, et comme nous traitons des courants de circuit, nous examinerons la loi des courants de Kirchhoff (KCL).

La loi des courants de Gustav Kirchhoff fait partie des lois fondamentales utilisées pour l’analyse de circuits. Sa loi des courants stipule que, pour un chemin parallèle, le courant total entrant dans un nœud de circuit est exactement égal au courant total sortant du même nœud. Cela est dû au fait qu’il n’a pas d’autre place où aller, car aucune charge n’est perdue.

En d’autres termes, la somme algébrique de TOUS les courants entrant et sortant d’un nœud doit être égale à zéro : Σ I_IN = Σ I_OUT.

Cette idée de Kirchhoff est communément connue sous le nom de Conservation de la Charge, car le courant est conservé autour du nœud sans aucune perte de courant. Voyons un exemple simple de la loi des courants de Kirchhoff (KCL) appliquée à un seul nœud.

Un seul nœud

Dans cet exemple simple de nœud unique, le courant I_T sortant du nœud est la somme algébrique des deux courants, I₁ et I₂ entrant dans le même nœud. Ainsi, I_T = I₁ + I₂.

Notez que nous pourrions également écrire cela correctement comme la somme algébrique : I_T – (I₁ + I₂) = 0.

Donc, si I₁ est égal à 3 ampères et I₂ est égal à 2 ampères, alors le courant total, I_T sortant du nœud sera 3 + 2 = 5 ampères, et nous pouvons utiliser cette loi de base pour n’importe quel nombre de nœuds, car la somme des courants entrant et sortant sera la même.

De plus, si nous inversions les directions des courants, les équations résultantes resteraient vraies pour I₁ ou I₂. Comme I₁ = I_T – I₂ = 5 – 2 = 3 ampères, et I₂ = I_T – I₁ = 5 – 3 = 2 ampères. Ainsi, nous pouvons considérer les courants entrant au nœud comme positifs (+), tandis que ceux sortant du nœud sont négatifs (-).

Nous pouvons également voir que la somme mathématique des courants soit entrant soit sortant du nœud, et dans n’importe quelle direction sera toujours égale à zéro, et cela constitue la base de la règle de Kirchhoff sur les nœuds, plus communément connue sous le nom de loi des courants de Kirchhoff ou (KCL).

Résistances en parallèle

Voyons comment nous pourrions appliquer la loi des courants de Kirchhoff aux résistances en parallèle, que les résistances dans ces branches soient égales ou inégales. Considérons le schéma de circuit suivant :

Dans cet exemple simple de résistance parallèle, il y a deux nœuds distincts pour le courant. Le premier nœud se produit au point B, et le second au point E. Ainsi, nous pouvons utiliser la règle des nœuds de Kirchhoff pour les courants électriques à ces deux nœuds distincts, pour les courants entrant dans le nœud et pour ceux sortant du nœud.

Pour commencer, tout le courant, I_T sort de l’alimentation de 24 volts et arrive au point A, puis entre dans le nœud B. Le nœud B est un nœud car le courant peut maintenant se diviser en deux directions distinctes, une partie du courant circulant vers le bas et à travers la résistance R₁, le reste continuant à travers la résistance R₂ via le nœud C. Notez que les courants entrant et sortant d’un point de nœud sont couramment appelés courants de branche.

Nous pouvons utiliser la loi d’Ohm pour déterminer les courants de branche individuels à travers chaque résistance comme suit : I = V/R, donc :

Pour le courant de la branche B à E à travers la résistance R₁

Pour le courant de la branche C à D à travers la résistance R₂

D’après ce qui précède, nous savons que la loi des courants de Kirchhoff stipule que la somme des courants entrant dans un nœud doit être égale à la somme des courants sortant du nœud, et dans notre exemple simple ci-dessus, il y a un courant, I_T entrant dans le nœud B et deux courants sortant du nœud, I₁ et I₂.

Puisque nous savons maintenant par calcul que les courants sortant du nœud au point B sont I₁ égale à 3 ampères et I₂ égale à 2 ampères, la somme des courants entrant dans le nœud B doit être égale à 3 + 2 = 5 ampères. Ainsi, Σ_IN = I_T = 5 ampères.

Dans notre exemple, nous avons deux nœuds distincts au point B et au point E, nous pouvons donc confirmer cette valeur pour I_T alors que les deux courants se recombinent de nouveau au point E. Donc, pour que la règle des nœuds de Kirchhoff soit vraie, la somme des courants entrant au point F doit être égale à la somme des courants sortant du nœud au point E.

Comme les deux courants entrant au nœud E sont respectivement de 3 ampères et 2 ampères, la somme des courants entrant au point F est donc : 3 + 2 = 5 ampères. Ainsi, Σ_IN = I_T = 5 ampères, et par conséquent, la loi des courants de Kirchhoff est vérifiée car c’est la même valeur que le courant quittant le point A.

Application de KCL à des circuits plus complexes

Nous pouvons utiliser la loi des courants de Kirchhoff pour trouver les courants circulant dans des circuits plus complexes. Nous espérons savoir d’ici que la somme algébrique de tous les courants à un nœud (point de nœud) est égale à zéro, et avec cette idée en tête, il suffit de déterminer les courants entrant dans un nœud et ceux sortant du nœud. Considérez le circuit ci-dessous.

Exemple de la loi des courants de Kirchhoff No1

Dans cet exemple, il y a quatre nœuds distincts pour que le courant se sépare ou fusionne à nouveau aux nœuds A, C, E et F. Le courant d’alimentation I_T se sépare au nœud A en passant par les résistances R₁ et R₂, se recombine au nœud C avant de se séparer à nouveau à travers les résistances R₃, R₄ et R₅ et finalement se recombine une fois de plus au nœud F.

Mais avant de pouvoir calculer les courants individuels circulant à travers chaque branche de résistance, nous devons d’abord calculer le courant total du circuit, I_T. La loi d’Ohm nous dit que I = V/R et comme nous connaissons la valeur de V, 132 volts, nous devons calculer les résistances du circuit comme suit.

Résistance du circuit R_AC

Ainsi, la résistance équivalente du circuit entre les nœuds A et C est calculée à 1 Ohm.

Résistance du circuit R_CF

Ainsi, la résistance équivalente du circuit entre les nœuds C et F est calculée à 10 Ohms. Ensuite, le courant total du circuit, I_T, est donné comme :

Nous donnant un circuit équivalent de :

Circuit équivalent de la loi des courants de Kirchhoff

Donc, V = 132V, R_AC = 1Ω, R_CF = 10Ω et I_T = 12A.

Ayant établi les résistances en parallèle équivalentes et le courant d’alimentation, nous pouvons maintenant calculer les courants de branche individuels et confirmer en utilisant la règle des nœuds de Kirchhoff comme suit.

Ainsi, I₁ = 5A, I₂ = 7A, I₃ = 2A, I₄ = 6A, et I₅ = 4A.

Nous pouvons confirmer que la loi de Kirchhoff est vraie autour du circuit en utilisant le nœud C comme point de référence pour calculer les courants entrant et sortant du nœud comme :

Nous pouvons également vérifier si la loi des courants de Kirchhoff est vraie car les courants entrant dans le nœud sont positifs, tandis que ceux sortant du nœud sont négatifs, ainsi la somme algébrique est : I₁ + I₂ – I₃ – I₄ – I₅ = 0 ce qui donne 5 + 7 – 2 – 6 – 4 = 0.

Nous pouvons donc confirmer par analyse que la loi des courants de Kirchhoff (KCL) qui stipule que la somme algébrique des courants à un point de nœud dans un réseau de circuits est toujours zéro est vraie et correcte dans cet exemple.

Exemple de la loi des courants de Kirchhoff No2

Trouvez les courants circulant dans le circuit suivant en utilisant uniquement la loi des courants de Kirchhoff.

I_T est le courant total circulant autour du circuit alimenté par la tension d’alimentation de 12V. Au point A, I₁ est égal à I_T, donc il y aura une chute de tension I₁*R à travers la résistance R₁.

Le circuit a 2 branches, 3 nœuds (B, C et D) et 2 boucles indépendantes, donc les chutes de tension I*R autour des deux boucles seront :

• Boucle ABC  ⇒  12 = 4I₁ + 6I₂
• Boucle ABD  ⇒  12 = 4I₁ + 12I₃

Puisque la loi des courants de Kirchhoff stipule qu’au nœud B, I₁ = I₂ + I₃, nous pouvons donc substituer le courant I₁ par (I₂ + I₃) dans les deux équations de boucle suivantes et ensuite simplifier.

Équations de boucle de Kirchhoff

Nous avons maintenant deux équations simultanées qui se rapportent aux courants circulant autour du circuit.

Éq. No 1 :    12 = 10I₂ + 4I₃

Éq. No 2 :    12 = 4I₂ + 16I₃

En multipliant la première équation (Boucle ABC) par 4 et en soustrayant la Boucle ABD de la Boucle ABC, nous pouvons réduire les deux équations pour obtenir les valeurs de I₂ et I₃.

Éq. No 1 :    12 = 10I₂ + 4I₃ ( x4 )    ⇒   48 = 40I₂ + 16I₃

Éq. No 2 :    12 = 4I₂ + 16I₃ ( x1 )    ⇒   12 = 4I₂ + 16I₃

Éq. No 1 – Éq. No 2   ⇒   36 = 36I₂ + 0

La substitution de I₂ en termes de I₃ nous donne la valeur de I₂ comme 1.0 Ampères

Nous pouvons maintenant effectuer la même procédure pour trouver la valeur de I₃ en multipliant la première équation (Boucle ABC) par 4 et la deuxième équation (Boucle ABD) par 10. Encore une fois, en soustrayant la Boucle ABC de la Boucle ABD, nous pouvons réduire les deux équations pour obtenir les valeurs de I₂ et I₃.

Éq. No 1 :    12 = 10I₂ + 4I₃ ( x4 )    ⇒   48 = 40I₂ + 16I₃

Éq. No 2 :    12 = 4I₂ + 16I₃ ( x10 )    ⇒   120 = 40I₂ + 160I₃

Éq. No 2 – Éq. No 1   ⇒   72 = 0 + 144I₃

Ainsi la substitution de I₃ en termes de I₂ nous donne la valeur de I₃ comme 0.5 Ampères

Comme la règle des nœuds de Kirchhoff stipule que :   I₁ = I₂ + I₃

Le courant d’alimentation circulant à travers la résistance R₁ est donné comme :  1.0 + 0.5 = 1.5 Ampères

Ainsi, I₁ = I_T = 1.5 Ampères, I₂ = 1.0 Ampères et I₃ = 0.5 Ampères et à partir de ces informations, nous pourrions calculer les chutes de tension I*R à travers les appareils et aux divers points (nœuds) autour du circuit.

Nous aurions pu résoudre le circuit de l’exemple deux simplement et facilement en utilisant juste la loi d’Ohm, mais nous avons utilisé la loi des courants de Kirchhoff ici pour montrer comment il est possible de résoudre des circuits plus complexes quand nous ne pouvons pas simplement appliquer la loi d’Ohm.