L’algèbre booléenne

L’algèbre booléenne est une méthode simple et efficace de représentation de l’action de commutation des portes logiques standard, et un ensemble de règles ou de lois a été inventé pour aider à réduire le nombre de portes logiques nécessaires pour effectuer une opération logique particulière. La forme Somme de Produits est une expression de l’algèbre booléenne dans laquelle différents termes “produits” d’entrées sont “additionnés” ensemble.

L’algèbre booléenne est les mathématiques de la logique numérique que nous utilisons pour analyser les portes et les circuits de commutation tels que ceux pour les fonctions de porte AND, OR et NOT, également connues sous le nom de “Ensemble complet” en théorie des commutations.

Produits en Algèbre Booléenne

En mathématiques standard, le nombre ou la quantité obtenue en multipliant deux (ou plusieurs) nombres ensemble est appelé produit. Par exemple, si nous multiplions le nombre 2 par 3, le résultat est 6, car 2*3 = 6, donc “6” sera le nombre produit.

Dans l’algèbre booléenne, la multiplication de deux entiers est équivalente à l’opération logique AND, produisant ainsi un terme “Produit” lorsque deux ou plusieurs variables d’entrée sont “ANDées” ensemble. En d’autres termes, dans l’algèbre booléenne, la fonction AND est l’équivalent de la multiplication et son état de sortie représente le produit de ses entrées.

Porte AND (Produit)

Contrairement aux mathématiques conventionnelles qui utilisent un Croix (x), ou une Étoile (*) pour représenter une action de multiplication, la fonction AND est représentée dans la multiplication booléenne par un seul “point” (.). Ainsi, l’équation booléenne pour une porte AND à 2 entrées est donnée comme : Q = A.B, c’est-à-dire Q égale à la fois A ET B.

Le Terme Produit (AND)

Nous savons maintenant qu’en algèbre booléenne, “produit” signifie l’AND des termes avec les variables dans un terme produit ayant une instance dans sa forme vraie ou dans sa forme complémentée pour que le produit résultant ne puisse pas être simplifié davantage. Ceux-ci sont appelés minterms.

Un terme produit peut avoir une ou deux variables indépendantes, telles que A et B, ou il peut avoir une ou deux constantes fixes, encore une fois 0 et 1. Nous pouvons utiliser ces variables et constantes dans une variété de combinaisons différentes et produire un résultat comme illustré dans les listes suivantes.

Termes de produits en algèbre booléenne

• A . 0 = 0
• A . 1 = A
• A . A = A
• A . A = 0

Notez qu’une “variable” booléenne peut avoir l’une des deux valeurs, soit “1” soit “0”, et peut changer sa valeur. Par exemple, A = 0, ou A = 1, tandis qu’une “constante” booléenne qui peut aussi être sous la forme de “1” ou “0”, est une valeur fixe et donc ne peut pas changer.

La Somme (OR) de Termes

Tandis que la fonction AND est communément appelée terme produit, la fonction OR est appelée terme somme. La fonction OR est l’équivalent mathématique de l’addition, notée par un signe plus, (+). Ainsi, une porte OR à 2 entrées a un terme de sortie représenté par l’expression booléenne de A+B car c’est la somme logique de A et B.

Porte OR (Somme)

Cette somme logique est généralement connue sous le nom d’addition booléenne, car une fonction OR produit le terme sommé de deux ou plusieurs variables d’entrée, ou constantes. Nous verrons la fonction OR et l’addition booléenne de manière plus détaillée dans le prochain tutoriel, mais pour l’instant, nous nous souviendrons qu’une fonction OR représente le terme Somme.

Somme de Produits

Nous avons vu que la fonction AND produit le produit logique de la multiplication booléenne, et que la fonction OR produit la somme logique de l’addition booléenne. Mais en traitant des circuits de logique combinatoire dans lesquels les portes AND, OR et NOT sont connectées ensemble, les expressions de Somme de Produits et Produits de Sommes sont largement utilisées.

L’expression Somme de Produits (SOP) provient du fait que deux ou plusieurs produits (AND) sont additionnés (OR) ensemble. Cela signifie que les sorties de deux ou plusieurs portes AND sont connectées à l’entrée d’une porte OR, créant ainsi une sortie logique finale AND-OR. Par exemple, la fonction booléenne suivante est une expression typique de somme de produits :

Q = (A.B) + (B.C) + (A.1)

et aussi

(A.B.C) + (A.C) + (B.C)

Conversion d’une Expression SOP en Table de Vérité

Nous pouvons afficher tout terme de somme de produits sous la forme d’une table de vérité, car chaque combinaison d’entrées qui produit une sortie logique “1” est un terme AND ou produit, comme indiqué ci-dessous.

Considérons l’expression sommes de produits suivante :

Q = A.B.C + A.B.C + A.B.C

Table de Vérité de Somme de Produits