Produit de la somme

Dans le tutoriel sur l’expression Somme de Produits (SOP), nous avons vu qu’elle représente une expression booléenne standard (de commutation) qui “somme” deux ou plusieurs “produits” en prenant la sortie de deux ou plusieurs portes logiques ET et OU ensemble pour créer la sortie finale. Mais nous pouvons également prendre les sorties de deux ou plusieurs portes OU et les connecter comme entrées à une porte ET pour produire une sortie “Produit de la Somme” (logique OU-ET).

Dans l’algèbre booléenne, l’addition de deux valeurs est équivalente à la fonction logique OU, produisant ainsi un terme de “somme” lorsque deux ou plusieurs variables d’entrée ou constantes sont “ORées” ensemble. En d’autres termes, dans l’algèbre booléenne, la fonction OU équivaut à une addition et l’état de sortie représente donc la “somme” de ses entrées.

Les expressions Produit de Somme sont des expressions booléennes constituées de sommes comprenant une ou plusieurs variables, soit dans leur forme normale vraie, soit dans une forme complétée ou des combinaisons des deux, qui sont ensuite ETées ensemble. Si une fonction booléenne de plusieurs variables est exprimée en termes de Produit de Somme, alors chaque terme est appelé le terme max. C’est-à-dire que la variable est considérée comme un “0” logique, comme nous le verrons plus tard. Mais d’abord, comprenons mieux ce qu’est un terme de somme.

Le Terme de Somme (OU)

Bien que la fonction ET soit couramment appelée le terme de produit, la fonction OU est qualifiée de terme de somme. La fonction OU est l’équivalent mathématique de l’addition, qui est notée par un signe plus, (+). Ainsi, une porte OU à 2 entrées a un terme de sortie représenté par l’expression booléenne de A+B car c’est la somme logique de A et B.

Porte OU (Somme)

Cette somme logique est communément connue sous le nom d’addition booléenne, car une fonction OU produit le terme somme de deux ou plusieurs variables d’entrée, ou constantes. Ainsi, l’équation booléenne pour une porte OU à 2 entrées est donnée par : Q = A+B, c’est-à-dire Q égal à A OU B. Pour un terme de somme, ces variables d’entrée peuvent être soit “vraies”, soit “fausses”, “1” ou “0”, ou être d’une forme complétée, donc A+B, A+B ou A+B sont tous considérés comme des termes de somme.

Nous savons donc maintenant qu’en algèbre booléenne, “somme” signifie l’OU des termes avec les variables dans un terme de somme ayant une occurrence dans sa forme vraie non complétée ou dans sa forme complétée afin que l’expression de somme résultante ne puisse pas être simplifiée davantage. Ces termes de somme sont connus sous le nom de maxterms, c’est-à-dire qu’un terme max est une somme complète de toutes les variables et constantes avec ou sans inversion dans l’expression booléenne. Comment peut-on alors montrer l’opération de cette fonction “somme” en algèbre booléenne ?

Un terme de somme peut avoir une ou deux variables indépendantes, telles que A et B, ou il peut avoir une ou deux constantes fixes, encore 0 et 1. Nous pouvons utiliser ces variables et constantes dans une variété de combinaisons différentes produisant un résultat de somme comme indiqué dans les listes suivantes.

Termes de Somme en Algèbre Booléenne

Notez qu’une “variable” booléenne peut avoir l’une des deux valeurs, soit “1” ou “0”, et peut changer sa valeur. Par exemple, A = 0, ou A = 1, tandis qu’une “constante” booléenne, qui peut également être sous la forme d’un “1” ou “0”, est une valeur fixe et donc ne peut pas changer.

Nous pouvons voir qu’une somme booléenne donnée peut être simplifiée en une constante ou variable simple, avec une brève description des différentes lois booléennes données ci-dessous où “A” représente une entrée variable.

• Règle d’identité – Un terme ORé avec 0 est toujours égal au terme (A+0 = A)
• Règle d’annulation – Un terme ORé avec 1 est toujours égal à 1 (A+1 = 1)
• Règle idempotente – Un terme ORé avec lui-même est toujours égal au terme (A+A = A)
• Règle de complément – Un terme ORé avec son complément est toujours égal à 1 (A+A = 1)
• Règle commutative – L’ordre dans lequel deux termes sont ORés est le même (A+1 = 1+A)

Le Terme de Produit (ET)

Tandis que la fonction OU est couramment appelée le terme de somme, la fonction ET est désignée comme le terme de produit. La fonction ET est l’équivalent mathématique de la multiplication, notée par un croix (x) ou un étoile (*). Ainsi, une porte ET à 2 entrées a un terme de sortie représenté par l’expression booléenne A.B car c’est le produit logique de A et B.

Porte ET (Produit)

Ce produit logique est communément connu sous le nom de multiplication booléenne, car la fonction ET produit le terme multiplié de deux ou plusieurs variables d’entrée, ou constantes. Pour l’instant, nous nous souviendrons simplement que la fonction ET représente le terme de produit.

Produit de Somme

Nous avons donc vu que la fonction OU produit la somme logique d’addition booléenne et que la fonction ET produit la somme logique de multiplication booléenne. Mais en ce qui concerne les circuits logiques combinatoires dans lesquels les portes ET, OU et NON sont connectées ensemble, l’expression Produit de Somme est largement utilisée.

L’expression Produit de Somme (POS) provient du fait que deux ou plusieurs sommes (OU) sont ajoutées (ETées) ensemble. Cela signifie que les sorties de deux ou plusieurs portes OU sont connectées à l’entrée d’une porte ET de sorte qu’elles soient effectivement ETées ensemble pour créer la sortie finale (OU ET). Par exemple, la fonction booléenne suivante est une expression typique de produit de somme :

Expressions Produit de Somme

Q = (A + B).(B + C).(A + 1)

et aussi

(A + B + C).(A + C).(B + C)

Cependant, les fonctions booléennes peuvent également être exprimées dans des formes non standards de produit de somme comme celle montrée ci-dessous, mais elles peuvent être converties en une forme POS standard en utilisant la loi distributive pour développer l’expression par rapport à la somme. Ainsi :

Q = A + (BC)

Devient en termes de produit de somme étendus :

Q = (A + B)(A + C)

Un autre exemple non standard est :

Q = (A + B) + (A.C)

Devient en une expression de produit de somme étendue :

Q = (A + B + A)(A + B + C)

qui peut, si nécessaire, être réduite en utilisant la loi distributive et la loi d’absorption aussi :

Q = (A + B)(A + B + C)

Q = A + B + C

Q = A + B

Conversion d’une expression POS en tableau de vérité

Nous pouvons afficher n’importe quel terme de produit de somme sous la forme d’un tableau de vérité, chaque combinaison d’entrée qui produit une sortie logique “0” est un OU ou terme de somme comme montré ci-dessous.

Considérons l’expression produit de somme suivante :

Q = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)

Nous pouvons maintenant établir le tableau de vérité pour l’expression ci-dessus pour montrer une liste de toutes les combinaisons d’entrées possibles pour A, B, et C qui donneront une sortie “0”.

Forme de Tableau de Vérité Produit de Somme

Nous pouvons donc voir clairement dans le tableau de vérité que chaque ligne qui produit un “0” pour sa sortie correspond à son expression d’addition booléenne, toutes les autres lignes ayant une sortie “1”. L’avantage ici est que le tableau de vérité nous donne une indication visuelle de l’expression booléenne, nous permettant de simplifier l’expression en nous souvenant qu’un terme de somme produit une sortie “0” lorsque toutes ses entrées sont égales à “0”. Pour faire en sorte qu’une ligne de terme de somme soit égale à “0”, nous devons inverser toutes les entrées qui sont égales à “1”.

Exemple de Produit de Somme

L’expression suivante de l’algèbre booléenne est donnée comme suit :

Q = (A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)

1. Utilisez un tableau de vérité pour montrer toutes les combinaisons possibles des conditions d’entrée qui produiront une sortie “0”.

2. Dessinez un diagramme de portes logiques для l’expression POS.

1. Tableau de Vérité

Forme de Tableau de Vérité Produit de Somme

2. Diagramme de Portes Logiques

Nous avons donc vu dans ce tutoriel que l’expression Produit de Somme (POS) est une expression booléenne standard qui prend le “Produit” de deux ou plusieurs “Sommes”. Pour un circuit logique numérique, l’expression POS prend la sortie de deux ou plusieurs portes logiques OU et les ET ensemble pour créer la sortie finale logique OU-ET.