La simplification de l’algèbre de Boole n’est pas si difficile à comprendre si l’on réalise que l’utilisation des symboles ou signes « + » et « . » représente l’opération de fonctions logiques.

Les fonctions logiques testent si une condition ou un état est soit VRAI soit FAUX, mais pas les deux en même temps. Selon le résultat de ce test, un circuit numérique peut alors décider de faire une chose ou une autre.

Comme nous l’avons vu dans le tutoriel sur les Lois de l’Algèbre de Boole, l’algèbre de Boole est les mathématiques de la logique et que l’application de diverses règles de la théorie des commutations peut être appliquée pour simplifier une notation algébrique de commutation longue ou complexe, et qui peut également être appliquée aux portes logiques et aux circuits numériques de base.

Mais avant de voir comment l’Algèbre de Boole peut nous aider dans la simplification de réseaux de commutation plus complexes, rappelons-nous d’abord quelques symboles de base, significations et lois relatives aux trois fonctions principales de : ET, OU et NON.

L’opération logique ET

L’expression logique ou booléenne donnée pour l’opérateur ET est celle de la Multiplication Logique, ou Produit Booléen où l’expression booléenne de A et B est équivalente à A*B. L’opérateur ET est couramment désigné par un point ou un symbole de plein arrêt, ( . ). Cela nous donne l’expression booléenne :  A.B, ou simplement AB.

Porte logique AND à 2 entrées

Ainsi, par exemple, une porte AND avec des entrées A, B, C aurait sa sortie écrite comme : A x B x C (ou A.B.C) avec le produit booléen A.B.C étant lu comme : « A et B et C ».

Cependant, le produit booléen de ABC peut également être écrit comme : C.B.A ou A(BC) ou AB(C), etc. Ils sont exactement les mêmes car ils suivent la loi associative de multiplication de Boole.

Il est donc clair que la fonction logique ET est utilisée pour comparer deux ou plusieurs conditions d’entrée et retourne VRAI uniquement si toutes les conditions se produisent ensemble. L’opération logique ET de multiplication représente une connexion en série, l’ordre dans lequel les interrupteurs sont connectés en série n’étant pas important car cela peut s’étendre à n’importe quel nombre d’interrupteurs connectés en série.

Représentation de commutation série (ET)

Rappelez-vous que nous définissons une condition d’interrupteur ouvert comme un non-événement produisant un « 0 », et définissons la fermeture d’un interrupteur comme un événement produisant un « 1 ». De plus, pour la notation booléenne, le « ET » de deux termes similaires donnera lieu à un terme unique car il respecte la Loi Idempotente de Boole. Par exemple : A.A = A ou A.A.A.A = A.

L’opération logique OU

L’expression logique ou booléenne donnée pour l’opérateur OU est celle de l’Addition Logique, ou de la Somme Booléenne où l’expression booléenne de A ou B est équivalente à A+B. L’opérateur OU est couramment désigné par un signe plus, ( + ) donnant ainsi l’expression booléenne :  A+B.

Porte logique OU à 2 entrées

Pour l’opération logique OU, si nous avions trois entrées A, B, C, alors la sortie est écrite comme : A + B + C pour montrer que les entrées sont additions l’une à l’autre. La somme booléenne A+B+C est lue comme : « A ou B ou C » et peut également être écrite comme : C+B+A ou B+A+C ou A+C+B, etc. Elles sont exactement les mêmes car elles suivent la loi associative de l’addition de Boole.

Il est donc clair que la fonction logique OU est utilisée pour comparer deux ou plusieurs conditions d’entrée et retourne VRAI uniquement si l’une des conditions se produit. L’opération logique OU de l addition représente une connexion en parallèle, l’ordre dans lequel les interrupteurs sont connectés en parallèle n’étant pas important car cela peut s’étendre à n’importe quel nombre d’interrupteurs connectés en parallèle.

Représentation de commutation parallèle (OU)

Pour la notation booléenne, le « OU » de deux termes similaires donnera lieu à un terme unique car cela suit encore une fois la Loi Idempotente de Boole. Par exemple : A+A = A ou A+A+A+A = A.

L’opération logique NON

L’opération logique NON est simplement une fonction d’inversion ou de complémentation d’une valeur booléenne et n’est pas considérée comme une variable distincte. La fonction NON est ainsi nommée parce que son état de sortie n’est « PAS » le même que son état d’entrée, son expression booléenne étant généralement désignée par une barre ou une ligne au-dessus du symbole qui désigne l’opération d’inversion, (d’où son nom d’inverseur).

Cela signifie que si l’interrupteur A est ouvert, A signifie que l’interrupteur est fermé. En d’autres termes, l’expression booléenne pour une fonction NON est la sortie est « 0 » si l’entrée est « 1 » et la sortie est « 1 » si l’entrée est « 0 ».

Dans sa forme booléenne, l’inversion est lue comme A-bar démontrant une forme complémentaire ou opposée. Notez également qu’une « double inversion » ( ̿ ) représente deux compléments ensemble. C’est A = A car cela représente le complément du complément de l’expression laissant l’expression inchangée. C’est l’expression originale (A). Dans les circuits de commutation, cette négation peut être représentée par un interrupteur normalement fermé comme montré.

Représentation NON

Notez qu’une double inversion A, A. A et A + A REPRÉSENTENT TOUS la Loi de Complément de Boole.

Notez également que dans certains livres sur l’algèbre de Boole, l’inversion ou la complémentation d’une valeur booléenne est représentée comme : A’. Ainsi A et A’ peuvent être utilisés de manière interchangeable pour représenter le complément d’une variable.

Simplification de l’Algèbre de Boole

Ayant établi l’opération de commutation des fonctions ET, OU, et NON, nous pouvons maintenant examiner comment simplifier quelques expressions de base de l’algèbre de Boole pour obtenir une expression finale qui a le nombre minimum de termes.

Commençons par quelque chose de simple comme :

L’expression booléenne : A.(A + B)

Multiplier les parenthèses nous donne :

Nous pouvons donc voir que l’expression booléenne de A.(A + B) peut être réduite à simplement « A » qui suit la Loi d’Absorption de Boole.

Exemple No2

Cette fois-ci, nous utiliserons trois termes booléens, A, B et C et appliquerons les mêmes règles de simplification de l’algèbre booléenne qu’auparavant.

Expression booléenne : (A + B)(A + C)

Encore une fois, multiplier les parenthèses nous donne :

Donc l’expression booléenne de (A + B)(A + C) peut être réduite à simplement « A + B.C » en utilisant les diverses lois de l’algèbre de Boole.

Simplification de l’Algèbre de Boole Exemple No3

Expression booléenne : AB(BC + AC)

	AB(BC + AC)	Début
multiplier	A.B.BC + A.B.A.C	Loi distributive
encore :	A.A = A	Loi idempotente
alors :	A.B.BC + A.B.C	Réduction
mais :	B.B = 0	Loi de complément
donc :	A.0.C + A.B.C	Réduction
devenu :	0 + A.B.C	Réduction
car :	0 + A.B.C = A.B.C	Loi d’identité
ainsi :	ABC	Résultat

Donc l’expression booléenne de AB(BC + AC) est réduite à « ABC ».

Simplification de l’Algèbre de Boole Exemple No4

À ce stade, vous devriez avoir une idée de base sur la façon de simplifier des termes d’algèbre de Boole en utilisant des Lois de l’Algèbre de Boole pour réduire une expression algébrique à sa forme la plus simple. Mettons tout cela ensemble dans cet exemple final de Simplification de l’Algèbre de Boole de :

Expression booléenne : (A + B + C)(A +B + C)(A + B + C)

Encore une fois, nous allons commencer par multiplier les premières parenthèses :

(A + B + C)(A + B + C)(A + B + C)

A(A + B + C)(A + B + C) + B(A + B + C)(A + B + C) + C(A +B + C)(A + B + C)

(AA + AB + AC)(AA + AB + AC) + (AB + B B + B C)(AB + BB + B C) + (AC + B C + CC)(AC + BC + C C)

AA = A    (Loi idempotente)

BB = CC = 0    (Loi de complément)

(A + AB + AC)(A + AB + AC) + (AB + B + B C)(AB + 0 + B C) + (AC + B C + 0)(AC + BC +C)

A + AB = A    (Loi d’absorption)

A + AC = A    (Loi d’absorption)

A + 0 = A    (Loi d’identité)

(A + AC)(A + AB + AC) + (AB + B C)(AB + B C) + (AC + B C)(AC + BC + C)

A(A + AB + AC) + (B + B C)(AB + B C) + (AC + B C)(BC + C)

A(A + AC) + B(AB + B C) + C(AC + B C)

AA + (AB + B B C) + (AC C + B C C)

A + (AB + B C) + (AC + B C)

A + (AB) + (B C) + (AC)

A + (B C) + (AC)

A + (B C)

B + C)(A + B + C)(A + B + C) a été réduite à l’expression plus simple de : A + (B C).

Résumé de la simplification de l’Algèbre de Boole

Nous avons vu ici dans ce tutoriel de simplification de l’algèbre de Boole que l’objectif de simplifier les expressions algébriques booléennes est d’obtenir une expression logique finale ayant le nombre minimum de termes. Une fonction booléenne est une expression algébrique formée en utilisant les opérateurs AND, OR, et NOT.

Les variables booléennes de A, B et C sont connues comme les littéraux de la fonction et bien que nous ayons utilisé les lettres majuscules A, B, et C ici dans ce tutoriel, les littéraux peuvent prendre une valeur symbolique. Par exemple, X, Y, Z, ou a, b, c. Ainsi, tout symbole peut être utilisé pour représenter une variable logique qui peut avoir une valeur de 1 ou 0.

Il existe plusieurs lois, règles et théorèmes de l’algèbre de Boole qui nous fournissent des moyens de réduire toute expression longue ou complexe ou circuit logique combinatoire en une version plus petite, les lois les plus courantes étant présentées dans le tableau de simplification de l’algèbre de Boole suivant.

Tableau de simplification de l’Algèbre de Boole

 

Bien que certaines de ces lois et règles puissent sembler évidentes, et d’autres moins. Il est important de les apprendre et de les comprendre et leur application lorsque vous travaillez sur la réduction ou la simplification de circuits logiques combinatoires.

Ensuite, l’algèbre de Boole peut être utilisée pour réduire tout circuit logique à un circuit équivalent plus simple qui fonctionne identiquement au circuit original, et pour prouver l’égalité des expressions booléennes originales et finales, des tables de vérité pourraient être créées pour chacune afin de les comparer. Si les tables de vérité correspondent, alors l’expression finale réduite est correcte.