Exemples d’algèbre booléenne pour réduire le nombre de portes numériques
Dans cet article, nous explorerons comment les lois de l’algèbre booléenne peuvent être appliquées pour identifier les portes logiques inutiles dans un système de conception logique numérique, réduisant ainsi le nombre de portes nécessaires et permettant d’économiser à la fois de la consommation d’énergie et des coûts.
Exemples d’algèbre booléenne No1
Construisez une table de vérité pour les fonctions logiques aux points C, D et Q dans le circuit suivant et identifiez une porte logique unique qui peut remplacer l’ensemble du circuit.
Les premières observations montrent que le circuit se compose d’une porte NAND à 2 entrées, d’une porte EX-OR à 2 entrées et enfin d’une porte EX-NOR en sortie. Comme il n’y a que 2 entrées au circuit étiquetées A et B, il peut y avoir seulement 4 combinaisons possibles des entrées (22) et celles-ci sont : 0-0, 0-1, 1-0 et enfin 1-1. Tracer les fonctions logiques de chaque porte dans un tableau nous donnera la table de vérité suivante pour l’ensemble du circuit logique.
| Entrées | Sortie à | |||
| A | B | C | D | Q |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Il ressort de la table de vérité ci-dessus que la colonne C représente la fonction de sortie générée par la porte NAND, tandis que la colonne D représente la fonction de sortie provenant de la porte Ex-OR. Ces deux expressions de sortie deviennent ensuite les conditions d’entrée pour la porte Ex-NOR à la sortie.
Il peut être vu à partir de la table de vérité qu’une sortie à Q est présente lorsque l’une ou l’autre des deux entrées A ou B est à la logique 1. La seule table de vérité qui satisfait cette condition est celle d’une porte OR. Par conséquent, l’ensemble du circuit ci-dessus peut être remplacé par une seule porte à 2 entrées OR.
Exemples d’algèbre booléenne No2
Trouvez l’expression d’algèbre booléenne pour le système suivant.
Le système consiste en une porte AND, une porte NOR et enfin une porte OR. L’expression pour la porte AND est A.B, et l’expression pour la porte NOR est A+B. Ces deux expressions sont également des entrées séparées pour la porte OR qui est définie comme A+B. Ainsi, l’expression de sortie finale est donnée comme suit :
La sortie du système est donnée comme Q = (A.B) + (A+B), mais la notation A+B est la même que celle de la notation de De Morgan A.B. En substituant A.B dans l’expression de sortie, nous obtenons une notation de sortie finale de Q = (A.B)+(A.B), qui est la notation booléenne pour une porte Exclusive-NOR comme vu dans la section précédente.
| Entrées | Intermédiaires | Sortie | ||
| B | A | A.B | A + B | Q |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Ensuite, tout le circuit ci-dessus peut être remplacé par une seule porte Exclusive-NOR et en effet, une porte Exclusive-NOR est constituée de ces fonctions de porte individuelles.
Exemple No3
Trouvez l’expression d’algèbre booléenne pour le système suivant.
Ce système peut sembler plus compliqué que les deux autres à analyser mais encore une fois, le circuit logique se compose simplement de portes AND, OR et NOT connectées ensemble.
Comme avec les exemples d’algèbre booléenne précédents, nous pouvons simplifier le circuit en écrivant la notation booléenne pour chaque fonction de porte logique à tour de rôle afin de donner une expression finale pour la sortie à Q.
La sortie de la porte AND à 3 entrées est uniquement à la logique “1” lorsque TOUTES les entrées de la porte sont à haut niveau logique “1” (A.B.C). La sortie de la porte OR inférieure n’est “1” que lorsque l’une ou l’autre des entrées B ou C est à un niveau logique “0”. La sortie de la porte AND à 2 entrées est “1” lorsque l’entrée A est à “1” et que les entrées B ou C sont à “0”. Ensuite, la sortie à Q n’est “1” que lorsque les entrées A.B.C sont égales à “1” ou que A est égale à “1” et que les deux entrées B ou C sont égales à “0”, soit A.(B+C).
En utilisant le “théorème de De Morgan”, les entrées B et C s’annulent, car pour produire une sortie à Q, elles peuvent être soit à logique “1”, soit à logique “0”. Il ne reste donc que l’entrée A comme seule entrée nécessaire pour donner une sortie à Q comme le montre le tableau ci-dessous.
| Entrées | Intermédiaires | Sortie | ||||||
| C | B | A | A.B.C | B | C | B+C | A.(B+C) | Q |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Nous pouvons alors voir que l’ensemble du circuit logique ci-dessus peut être remplacé par une seule entrée étiquetée ” A “, réduisant ainsi un circuit de six portes logiques individuelles à un simple fil (ou tampon). Ce type d’analyse de circuit utilisant l’algèbre booléenne peut être très puissant et rapidement identifier toute porte logique inutile au sein d’une conception logique numérique, réduisant ainsi le nombre de portes requises, la consommation d’énergie du circuit et bien sûr le coût.