Nous savons que les nombres décimaux (ou dénaires) utilisent le système de numération en base dix (base-10) où chaque chiffre dans un nombre décimal peut prendre l’une des dix valeurs possibles dans la plage de 0 à 9. Ainsi, en allant de droite à gauche le long d’un nombre décimal, chaque chiffre a une valeur dix fois plus grande que le chiffre immédiatement à sa droite.

Mais en plus de chaque chiffre étant dix fois plus grand que le chiffre précédent en nous déplaçant de droite à gauche, chaque chiffre peut aussi être dix fois plus petit que son voisin en avançant dans la direction opposée de gauche à droite.

Cependant, une fois que nous atteignons zéro (0) et le point décimal, nous n’avons pas besoin de nous arrêter, mais nous pouvons continuer à avancer de gauche à droite le long des chiffres en produisant ce que l’on appelle généralement des nombres fractionnaires.

Un Nombre Fractionnaire Typique

Dans cet exemple de nombre décimal (ou denier), le chiffre immédiatement à droite du point décimal (le chiffre 5) vaut un dixième (1/10 ou 0.1) du chiffre immédiatement à gauche du point décimal (le chiffre 4) qui a une valeur multiplicative de un (1).

Ainsi, en nous déplaçant dans le nombre de gauche à droite, chaque chiffre suivant aura une valeur correspondant à un dixième du chiffre immédiatement situé à sa gauche, et ainsi de suite.

Ensuite, le système de numération décimal utilise le concept de valeurs de pondération positionnelle ou relative produisant une notation positionnelle, où chaque chiffre représente une valeur pondérée différente en fonction de la position occupée de part et d’autre du point décimal.

Mathématiquement, dans le système de numération dénair standard, ces valeurs sont généralement écrites comme : 4⁰, 3¹, 2², 1³ pour chaque position à gauche du point décimal dans notre exemple ci-dessus. De même, pour les nombres fractionnaires à droite du point décimal, le poids du nombre devient plus négatif donnant : 5^-1, 6^-2, 7^-3, etc.

Nous pouvons ainsi voir que chaque chiffre dans le système décimal standard indique la magnitude ou le poids de ce chiffre au sein du nombre. Ensuite, la valeur de tout nombre décimal sera égale à la somme de ses chiffres multipliés par leurs poids respectifs, donc pour notre exemple ci-dessus : N = 1234.567₁₀, dans le format décimal pondéré, cela sera égal à :

1000 + 200 + 30 + 4  + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1234.567₁₀

ou cela pourrait être écrit pour refléter la pondération de chaque chiffre décimal :

(1×1000) + (2×100) + (3×10) + (4×1) + (5×0.1) + (6×0.01) + (7×0.001) = 1234.567₁₀

ou même sous forme polynomiale comme :

(1×10³) + (2×10²) + (3×10¹) + (4×10⁰) + (5×10^-1) + (6×10^-2) + (7×10^-3) = 1234.567₁₀

Nous pouvons également utiliser cette idée de notation positionnelle où chaque chiffre représente une valeur pondérée différente en fonction de la position qu’il occupe dans le système de numération binaire. La différence cette fois est que le système de numération binaire (ou simplement les nombres binaires) est un système positionnel, où les différentes positions pondérées des chiffres sont à la puissance de 2 (base-2) au lieu de 10.

Fractions Binaires

Le système de numération binaire est un système de numération en base-2 qui ne contient que deux chiffres, un “0” ou un “1”. Ainsi, chaque chiffre d’un nombre binaire peut prendre la valeur “0” ou “1” avec la position du 0 ou 1 indiquant sa valeur ou sa pondération. Mais nous pouvons également avoir une pondération binaire pour des valeurs inférieures à 1 produisant ce que l’on appelle des nombres binaires fractionnaires non signés.

Similaire aux fractions décimales, les nombres binaires peuvent également être représentés comme des nombres fractionnaires non signés en plaçant les chiffres binaires à droite du point décimal ou dans ce cas, point binaire. Ainsi, tous les chiffres fractionnaires à droite du point binaire ont des pondérations respectives qui sont des puissances négatives de deux, créant des fractions binaires. En d’autres termes, les puissances de 2 sont négatives.

Donc pour les nombres fractionnaires binaires à droite du point binaire, le poids de chaque chiffre devient de plus en plus négatif donnant : 2^-1, 2^-2, 2^-3, 2^-4, et ainsi de suite comme montré.

Fractions Binaires

etc, etc.

Ainsi, si nous prenons la fraction binaire de 0.1011₂, alors les poids positionnels de chacun des chiffres sont pris en compte, donnant son équivalent décimal de :

Pour cet exemple, la conversion de la fraction décimale du nombre binaire 0.1011₂ est de 0.6875₁₀.

Exemple de Fractions Binaires No1

Supposons maintenant que nous avons le nombre binaire suivant : 1101.0111₂, quel sera son équivalent décimal.

1101.0111 = (1×2³) + (1×2²) + (0×2¹) + (1×2⁰) + (0×2^-1) + (1×2^-2) + (1×2^-3) + (1×2^-4)

 = 8 + 4 + 0  + 1 + 0 + 1/4 + 1/8  + 1/16

 = 8 + 4 + 0  + 1 + 0 + 0.25 + 0.125  + 0.0625 = 13.4375₁₀

Ainsi, le nombre équivalent décimal de 1101.0111₂ est donné comme : 13.4375₁₀

Nous pouvons voir que les nombres fractionnaires binaires, c’est-à-dire les nombres binaires ayant une pondération inférieure à 1 (2⁰), peuvent être convertis en leur équivalent décimal en divisant successivement le facteur de pondération binaire par la valeur deux pour chaque diminution de la puissance de 2, tout en se rappelant que 2⁰ est égal à 1, et non à zéro.

Autres Exemples de Fractions Binaires

0.11 = (1×2^-1) + (1×2^-2) = 0.5 + 0.25 = 0.75₁₀

11.001 = (1×2¹) + (1×2⁰) + (1×2^-3) = 2 + 1 + 0.125 = 3.125₁₀

1011.111 = (1×2³) + (1×2¹) + (1×2⁰) (1×2^-1) + (1×2^-2) + (1×2^-3)

= 8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 = 11.875₁₀

Conversion de Decimal à une Fraction Binaire

La conversion de fractions décimales en fractions binaires est réalisée en utilisant une méthode similaire à celle que nous avons utilisée pour les entiers. Cependant, cette fois, on utilise la multiplication au lieu de la division avec les entiers au lieu des restes, étant donné que le chiffre retenu est l’équivalent binaire de la partie fractionnaire du nombre décimal.

Lors de la conversion du décimal au binaire, la partie entière (séquence positive de droite à gauche) et la partie fractionnaire (séquence négative de gauche à droite) du nombre décimal sont calculées séparément.

Pour la partie entière du nombre, l’équivalent binaire est trouvé en divisant successivement (appelé division successive) la partie entière du nombre décimal à plusieurs reprises par 2 (÷2), notant les restes dans l’ordre inverse depuis le bit de poids faible (LSB) jusqu’au bit de poids fort (MSB), jusqu’à ce que la valeur devienne “0”, produisant l’équivalent binaire.

Ainsi, pour trouver l’équivalent binaire de l’entier décimal : 118₁₀

118 (diviser par 2)  =  59  plus reste 0  (LSB)

59 (diviser par 2)  =  29  plus reste 1  (↑)

29 (diviser par 2)  =  14  plus reste 1  (↑)

14 (diviser par 2)  =  7  plus reste 0  (↑)

7 (diviser par 2)  =  3  plus reste 1  (↑)

3 (diviser par 2)  =  1  plus reste 1  (↑)

1 (diviser par 2)  =  0  plus reste 1  (MSB)

Ainsi, l’équivalent binaire de 118₁₀ est donc : 1110110₂  ← (LSB)

La partie fractionnaire du nombre est trouvée en multipliant successivement (appelé multiplication successive) la partie fractionnaire donnée du nombre décimal à plusieurs reprises par 2 (×2), notant les retenues dans l’ordre, jusqu’à ce que la valeur devienne “0”, produisant l’équivalent binaire.

Donc, si le processus de multiplication produit un produit supérieur à 1, la retenue est un “1” et si le processus de multiplication produit un produit inférieur à “1”, la retenue est un “0”.

Notez également que si les processus de multiplication successifs ne semblent pas se diriger vers un zéro final, le nombre fractionnaire aura une longueur infinie ou jusqu’à ce que le nombre équivalent de bits ait été obtenu, par exemple 8 bits ou 16 bits, etc., selon le degré de précision requis.

Ainsi, pour trouver l’équivalent de la fraction binaire de la fraction décimale : 0.8125₁₀

0.8125 (multiplier par 2)  =  1.625  =  0.625 retenue 1  (MSB)

0.625 (multiplier par 2)  =  1.25  =  0.25 retenue 1  (↓)

0.25 (multiplier par 2)  =  0.50  =  0.5 retenue 0  (↓)

0.5 (multiplier par 2)  =  1.00    =  0.0 retenue 1  (LSB)

Ainsi, l’équivalent binaire de 0.8125₁₀ est donc : 0.1101₂  ← (LSB)

Nous pouvons vérifier cette réponse en utilisant la procédure ci-dessus pour convertir une fraction binaire en un équivalent décimal : 0.1101 = 0.5 + 0.25 + 0.0625 = 0.8125₁₀

Exemple de Fraction Binaire No2

Trouvez l’équivalent fractionnaire binaire du nombre décimal suivant : 54.6875

Tout d’abord, nous convertissons l’entier 54 en un nombre binaire de la manière normale en utilisant la division successive comme ci-dessus.

54 (diviser par 2)  =  27  reste 0  (LSB)

27 (diviser par 2)  =  13  reste 1  (↑)

13 (diviser par 2)  =  6  reste 1  (↑)

6 (diviser par 2)  =  3  reste 0  (↑)

3 (diviser par 2)  =  1  reste 1  (↑)

1 (diviser par 2)  =  0  reste 1  (MSB)

Ainsi, l’équivalent binaire de 54₁₀ est donc : 110110₂

Ensuite, nous convertissons la fraction décimale 0.6875 en fraction binaire à l’aide de la multiplication successive.

0.6875 (multiplier par 2)  =  1.375  =  0.375 retenue 1  (MSB)

0.375 (multiplier par 2)  =  0.75  =  0.75 retenue 0  (↓)

0.75 (multiplier par 2)  =  1.50  =  0.5 retenue 1  (↓)

0.5 (multiplier par 2)  =  1.00    =  0.0 retenue 1  (LSB)

Ainsi, l’équivalent binaire de 0.6875₁₀ est donc : 0.1011₂  ← (LSB)

Ainsi, l’équivalent binaire du nombre décimal : 54.6875₁₀ est 110110.1011₂

Résumé des Fractions Binaires

Dans ce tutoriel sur les Fractions Binaires, nous avons vu que pour convertir n’importe quelle fraction décimale en sa fraction binaire équivalente, nous devons multiplier la partie fractionnaire décimale, et uniquement la partie fractionnaire décimale par 2 et noter le chiffre qui apparaît à gauche du point binaire. Ce chiffre binaire qui est le chiffre retenu sera TOUJOURS soit un “0” soit un “1”.

Nous devons ensuite multiplier la fraction décimale restante par 2 à nouveau, en répétant la séquence ci-dessus à l’aide de multiplications successives jusqu’à ce que la fraction soit réduite à zéro ou que la quantité requise de bits binaires ait été complétée pour une fraction binaire répétée. Les nombres fractionnaires sont représentés par des puissances négatives de 2.

Pour des nombres décimaux mixtes, nous devons effectuer deux opérations séparées. Division successive pour la partie entière à gauche du point décimal et multiplication successive pour la partie fractionnelle à droite du point décimal.

Notez que la partie entière d’un nombre décimal mixte aura toujours un équivalent binaire exact, mais la partie fractionnaire décimale peut ne pas avoir d’équivalent, car nous pourrions obtenir une fraction répétée entraînant un nombre infini de chiffres binaires si nous voulions représenter la fraction décimale exactement.