Onde Sinusoïdale

La onde sinusoïdale, également connue sous le nom d’onde sinusoïdale sinusoidal ou forme d’onde sinusoïdale est une oscillation lisse et périodique qui décrit un motif répété dans l’espace ou dans le temps. C’est l’un des types de forme d’onde les plus simples et les plus utilisés en ingénierie électrique. Les ondes sinusoïdales sont périodiques et existent dans le « domaine temporel ». Elles peuvent donc être utilisées pour analyser la fréquence et/ou la réponse en phase d’un système électrique linéaire sur une plage de fréquences spécifique.

Les formes d’onde sinusoïdales sont généralement générées par un générateur AC rotatif ou un alternateur par induction électromagnétique. Si nous faisons tourner une seule bobine de fil à l’intérieur d’un champ magnétique uniforme à une vitesse constante, la tension générée prendra la forme d’une onde sinusoïdale typique. Ainsi, à tout instant donné, la tension générée par cette action de rotation dépendra de la relation entre le conducteur de la bobine et les lignes de force magnétique.

Par exemple, si la bobine de fil se déplace parallèlement aux lignes de force magnétique, presque aucune ligne de force n’est coupée et la tension générée serait nulle. De même, si la bobine de fil se déplace perpendiculairement aux lignes de force magnétique, le plus grand nombre de lignes de flux est coupé à ce moment donné, donc la tension maximale est générée.

Génération de l’Onde Sinusoïdale dans un Champ Magnétique

Ainsi, la rotation constante d’une bobine de fil à l’intérieur d’un champ magnétique uniforme provoque un changement continu du flux magnétique reliant la bobine. Cette action produit une tension sinusoïdale dans la bobine lorsqu’elle tourne.

Non seulement la tension sinusoïdale (ou le courant) change de direction à intervalles réguliers, mais l’amplitude change également continuellement à mesure que la bobine tourne. Cependant, cette forme d’onde périodique n’existe que tant que la bobine est en rotation.

Étant donné que cette forme d’onde de tension générée varie de manière sinusoïdale dans le temps, elle aura différents paramètres associés qui peuvent être utilisés pour la décrire, tels que :

Caractéristiques d’une Onde Sinusoïdale :

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  Amplitude (A) :  Le déplacement maximal, positif ou négatif, au-dessus de l’origine (la hauteur de l’onde sinusoïdale).
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  Période (T) :  Le temps nécessaire pour que la forme d’onde complète un cycle complet.
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  Fréquence (ƒ) :  Le nombre de fois qu’elle se répète chaque seconde. La fréquence est l’inverse de la période, (ƒ = 1/T).
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  Phase (θ) :  Un décalage le long de l’axe horizontal, déterminant où commence l’onde sinusoïdale.

Nous pouvons donc voir qu’une onde sinusoïdale est un signal variant dans le temps qui produit une « forme d’onde sinusoïdale » définissant la forme du signal généré. La valeur instantanée d’une forme d’onde sinusoïdale en fonction du temps peut être exprimée par l’équation suivante de l’onde sinusoïdale :

a_(t) = A_max sin(θ)

C’est-à-dire que la valeur instantanée a_(t) est égale à la valeur maximale multipliée par le sinus de l’angle temporel.

Cette représentation mathématique généralisée décrit la génération d’une onde sinusoïdale dans le temps, mais que signifie cela ? Étant une forme d’onde périodique, les ondes sinusoïdales peuvent également être créées à l’aide de fonctions trigonométriques mathématiques qui s’expriment en termes de la fonction sinus ou de la fonction cosinus d’un angle.

Représentation Mathématique d’une Onde Sinusoïdale

Les fonctions trigonométriques, sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, nous pouvons donc les utiliser pour définir les coordonnées d’un point autour d’un cercle unitaire.

Essentiellement, un cercle unitaire est défini comme un cercle de rayon unitaire (r = 1), dont le centre est à l’intersection des segments de droite horizontaux (réels) et verticaux (imaginaires) qui le traversent. Le rayon unitaire a un angle variable θ (thêta), qui peut tourner autour de la circonférence complète de 360^o. En général, theta est mesurée dans le sens antihoraire à partir de l’axe réel positif comme indiqué.

Cercle Unitaire de l’Onde Sinusoïdale

Étant donné que la circonférence (C) d’un cercle est le produit de π (pi) et de son diamètre, D. La formule mathématique standard utilisée pour déterminer la circonférence d’un cercle rond est simplement donnée par : C = πD.

Cependant, le diamètre (D) d’un cercle est également deux fois son rayon (r), car la longueur du rayon est la moitié de la longueur du diamètre. Ainsi, D = 2r. Nous pouvons donc dire correctement que :

C = πD = π2r, ou C = 2πr

Par conséquent, si un cercle unitaire avec un rayon égal à un (r = 1), il aura une circonférence de longueur 2π. En d’autres termes, pour une révolution complète autour de la circonférence d’un cercle unitaire, sa longueur est égale à 2π unités.

Nous savons aussi depuis nos jours d’école qu’une rotation complète autour d’un cercle est dite mesurer 360 degrés (360^o). Ensuite, chaque révolution autour de la circonférence d’un cercle unitaire est une distance égale à 360^o, ou 2π. Mais si la circonférence d’un cercle unitaire peut être divisée en 360 degrés égaux, quelle est l’unité utilisée pour référencer 2π ?

Mesure en Radian d’une Onde Sinusoïdale

Il existe une autre unité de mesure angulaire appelée radian. Le radian (rad) est l’angle central entre deux rayons d’un cercle qui coupent la circonférence du cercle à un arc dont la longueur est égale au rayon. Ainsi, la mesure de l’angle est de 1 radian comme montré.

Le Radian d’une Onde Sinusoïdale

Il doit donc exister une relation entre les degrés et les radians lorsque l’on considère un cercle unitaire, et il y en a une.

Si la circonférence d’un cercle de rayon “r” est égale à : 2πr. Alors il doit y avoir 2πr/r = 2π radians dans un cercle unitaire complet. Maintenant, comme il y a également 360 degrés dans un cercle complet, cela nous donne un ratio de radians à degrés. Autrement dit, 2π pour 360^o, ou π pour 180^o pour un demi-cercle. Cela nous donne donc la relation suivante :

1 radian = 360 degrés ÷ 2π = 57,296 degrés angulaires

Nous pouvons créer un tableau de valeurs angulaires par étapes de 15^o (ou toute valeur que vous souhaitez) de θ = 0^o à θ = 360^o (une rotation complète) en convertissant chaque angle de degrés en radians comme montré.

Tableau des Degrés en Radians

Avoir établi que la longueur de la circonférence (C) d’un cercle peut être divisée en mesures angulaires soit en degrés soit en radians (rads). Si nous déroulons la circonférence du cercle unitaire en une ligne droite de longueur égale. Nous avons maintenant la base pour l’axe horizontal x pour la construction de notre forme d’onde sinusoïdale comme montré.

Axe Horizontal pour une Forme d’Onde Sinusoïdale

Nous pouvons donc voir que les angles formés par la rotation du cercle d’un tour complet dans le sens antihoraire jusqu’à ce qu’il coïncide avec lui-même mesureront 360 degrés. Ainsi, un degré, 1^o, est égal à 1/360 d’un tour. Par conséquent, un angle droit de 90^o, représentera 1/4 d’un tour et 180^o, représentera la moitié d’un tour.

Si nous continuons à tourner le cercle pendant une seconde ou une troisième fois, nous répéterons la même séquence pour l’axe horizontal x. Ainsi, nous pouvons voir que la fonction sera périodique ayant une période (T) de 2π et une fois que nous connaissons les valeurs de l’axe sur une longueur d’intervalle, nous connaîtrons toutes les valeurs en degrés ou en radians.

Trigonometri de une Onde Sinusoïdale

D’accord, maintenant que nous comprenons comment et pourquoi l’axe horizontal x pour une onde sinusoïdale est en unités de degrés ou de radians (rads), nous pouvons maintenant utiliser la trigonométrie pour construire l’axe vertical y afin de représenter l’amplitude de la forme d’onde.

La trigonométrie est l’étude de la relation qui existe entre les côtés et les angles d’un triangle. Nous pouvons donc utiliser des triangles rectangles pour créer la forme de la vague d’un graphique d’onde sinusoïdale graphiquement, et une manière d’illustrer ce concept est d’utiliser des vecteurs.

Un vecteur est une ligne qui indique à la fois la magnitude et la direction d’un point dans l’espace. La magnitude est indiquée par sa longueur, et la direction est indiquée par son angle de rotation. Mais pour ce faire, nous avons besoin d’une manière algébrique de représenter les vecteurs. Heureusement pour nous, le théorème de Pythagore concerne tout ce qui touche à la recherche des angles et des côtés des triangles rectangles.

Le théorème de Pythagore joue un rôle clé dans la définition et la compréhension de la construction d’une onde sinusoïdale, notamment dans le contexte du cercle unitaire en trigonométrie. La relation entre la fonction sinus et un triangle rectangle peut être utilisée pour visualiser et définir une onde sinusoïdale le long d’un axe horizontal.

Pythagore et le Cercle Unitaire

En prenant notre cercle précédent avec un rayon de 1 unité, centré à l’origine d’un plan de coordonnées. Si nous prenons n’importe quel point sur la circonférence de ce cercle et l’utilisons pour dessiner un triangle rectangle en faisant tomber une ligne verticale (y) de ce point à l’axe horizontal (axe x), nous pouvons alors utiliser le théorème de Pythagore pour décrire la relation entre n’importe quel côté et les angles du triangle créé.

Notez qu’une forme triangulaire à 3 côtés dont l’un de ses trois angles internes est un angle droit (90^o) est, comme son nom l’indique, appelé un triangle rectangle. Le côté le plus long opposé à l’angle droit est appelé l’hypoténuse, (H).

Le côté adjacent à l’angle θ est appelé adjacent, (A) tandis que le côté restant exactement opposé à θ est appelé opposé, (O).

Ainsi, pour n’importe quel point autour de la circonférence d’un cercle unitaire, l’hypoténuse est le rayon (r) du cercle, qui pour un cercle unitaire est 1, (r = 1). La distance horizontale (côté adjacent) devient la coordonnée X, et la distance verticale (côté opposé) devient la coordonnée Y. L’angle θ formé entre le rayon et l’axe x est là où les fonctions sinus et cosinus interviennent.

Définir Sinus et Cosinus à l’aide de Pythagore :

Le sinus de l’angle sin(θ) est défini comme le rapport du côté opposé (axe vertical y) à l’hypoténuse (rayon) :

Le cosinus de l’angle cos(θ) est le rapport du côté adjacent (axe horizontal x) à l’hypoténuse :

Ainsi, la projection du vecteur en rotation sur l’axe horizontal pour n’importe quel angle θ, sa fonction sinus correspondante donnera la magnitude verticale (hauteur) du point sur le cercle unitaire représentant la valeur instantanée. À mesure que l’angle θ augmente de 0^o à 360^o, la fonction sinus trace la forme d’onde périodique lisse. Ce graphique de courbe sinusoïdale représente une onde sinusoïdale sinusoïdale.

Visualisation d’une Onde Sinusoïdale depuis le Cercle Unitaire :

Une fois le sinus de l’angle déterminé, la magnitude de sa position (hauteur) par rapport à l’axe horizontal x peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore. Puisque nous connaissons la longueur de l’hypoténuse du cercle unitaire qui est 1, et l’angle de θ à n’importe quel point, P autour du cercle. Nous pouvons réorganiser l’équation précédente du sinus comme suit pour trouver la valeur de y sous forme tabulaire entre 0 et 360^o.

Tableau des Ondes Sinusoïdales

Nous pouvons donc voir qu’à mesure que le point P(x,y) se déplace autour de la circonférence de notre cercle unitaire, la position verticale de y = sin(θ) change de manière périodique. Si nous traçons les valeurs de sin(θ) contre l’angle de rotation (ou le temps, t) sur notre précédent axe horizontal, le graphique résultant sera une onde sinusoïdale lisse et répétitive d’une période, ou cycle comme montré.

Graphique de la Fonction d’Onde Sinusoïdale

Comme le montre la courbe sinusoïdale graphique de y = sinθ, le traçage des points entre 0 et 360^o (2π), au fur et à mesure que θ augmente de 0 à 90^o (π/2), la valeur de y passe de 0 à 1. À mesure que θ augmente de 90^o (π/2) à 180^o (π), la valeur de y diminue de 1 à 0 et ensuite à -1. Enfin, à mesure que θ augmente de 270^o (3π/2) à 360^o (2π), la valeur de y augmente à partir de -1 revenant à 0.

En traçant la valeur de “y” à des intervalles plus courts, par exemple à chaque 10^o (36 points) ou 5^o (72 points), cela donnerait des résultats plus précis, et donc une construction de forme d’onde sinusoïdale plus précise.

Notez que pour des angles de déplacement supérieurs à 360^o (2π), les valeurs des fonctions trigonométriques sont simplement répétées. Par exemple, l’angle de 390^o (360+30), ou l’angle de 750^o (2 x 360+30) aura la même valeur de sinus (et cosinus) que l’angle original de 30^o.

Nous pouvons donc voir que la fonction sinus mathématique est profondément liée à la géométrie d’un triangle rectangle, et un cas où le théorème de Pythagore s’applique, puisque si nous faisons varier l’angle θ, nous pouvons tracer une onde sinusoïdale basée sur le rapport des côtés du triangle formé dans le cercle unitaire.

Ainsi, de cette manière, le théorème de Pythagore nous aide à comprendre le fondement géométrique de la fonction sinus, qui est crucial pour définir une onde sinusoïdale.

Exemple d’Onde Sinusoïdale No1

Quelle sera la tension instantanée d’une forme d’onde sinusoïdale à un angle de rotation de 45^o lorsqu’elle a une tension maximale de 100 volts.

v_(t) = V_maxsin(θ) = 100 × sin(45^o) = 70,7 volts

Ainsi, lorsque le vecteur tourne, il aura une magnitude de 70,7 volts lorsqu’il atteint un angle de rotation de 45^o (premier quadrant). Vous pourriez également réaliser que le même vecteur aura également une magnitude de 70,7 volts 90^o plus tard lorsqu’il atteindra 135^o dans le deuxième quadrant.

Vitesse Angulaire d’une Onde Sinusoïdale

Nous avons donc vu ici qu’une onde sinusoïdale représente le mouvement périodique d’un seul vecteur tournant en mouvement circulaire à une vitesse constante. L’axe horizontal x de la forme d’onde tracée est en unités de temps, tandis que l’axe vertical y représente la magnitude de la forme d’onde, que la mesure soit en tension ou en courant.

Le temps nécessaire au vecteur pour compléter une révolution complète est appelé période et est noté par le symbole T (pour Temps). Ainsi, une révolution complète équivaut à un cycle. L’inverse de la période est appelé fréquence, ƒ. Ainsi, ƒ = 1/T.

La fréquence électrique, (ƒ) indique combien de cycles existent en une seconde, avec le nombre de “cycles par seconde” étant donné en Hertz, (Hz). Par exemple, si l’onde sinusoïdale se répète une fois par seconde, sa fréquence sera de 1 Hz. Si elle se répète 50 fois en une seconde, sa fréquence sera de 50 Hz. Tandis que 60 fois par seconde est 60 Hz, etc.

Puisqu’une révolution complète (une période, ou cycle) du vecteur équivaut à 360^o, il s’ensuit donc que 360ƒt équivaut à l’angle total, θ, en degrés, généré en un temps de “t” secondes. Mais comme nous l’avons vu, une période de 360^o est également égale à 2π radians. Nous pouvons donc substituer 360ƒt par 2πƒt. Cela s’appelle la vitesse angulaire de l’onde sinusoïdale. Notez que la fonction cosinus correspondante aura également une période de : 2π.

Nous pouvons donc réécrire l’expression précédente dans un format plus général pour une onde sinusoïdale en termes de mesure angulaire en radians :

a_(t) = A_max sin(2πƒt)

Comme la vitesse angulaire de l’onde sinusoïdale est désormais définie comme étant : 2πƒ radians par seconde. Nous pouvons représenter la quantité de 2πƒ en utilisant la petite lettre grecque Oméga, (ω). Ainsi 2πƒt = ωt. C’est alors la vitesse angulaire du vecteur en radians par seconde entre ωt = 0 et ωt = 2π. En termes réels, une fréquence plus élevée signifierait une plus grande vitesse angulaire.

Exemple d’Onde Sinusoïdale No2

Quelle est la vitesse angulaire d’une forme d’onde sinusoïdale avec une période de 16,67 milli-secondes.

Différence de Phase entre Deux Formes d’Onde

Jusqu’à présent, nous avons supposé que notre graphique d’onde sinusoïdale de la fonction sinus soit y_(t) = A_maxsin(2πƒt) en degrés ou y_(t) = A_maxsin(ωt) en radians passe par zéro (0) sur l’axe horizontal x. Mais que se passe-t-il si ce n’est pas le cas, ou si nous voulons montrer le déplacement angulaire d’une forme d’onde par rapport à une autre forme d’onde de la même fréquence ? Par exemple, les formes d’onde de tension et de courant.

La forme d’onde de tension peut passer par le point zéro tandis que la forme d’onde de courant peut déjà être passée, ou est sur le point de passer par le point zero dans la même direction de rotation. En d’autres termes, les deux formes d’onde sinusoïdales de la même fréquence ont deux points de zéro croisés différents le long de l’axe x.

Dans cet instant, nous pouvons dire que l’angle de phase entre les deux formes d’onde a été décalé d’un côté ou de l’autre d’un certain montant. Ou que la forme d’onde de courant a un décalage de phase d’un montant en degrés (ou radians) par rapport à l’onde sinusoïdale de tension.

L’angle créé entre les deux points de croisement zéro est appelé l’angle de différence de phase, Φ (lettre grecque Phi). La différence de phase, ou le décalage de phase, peut être mesurée en degrés ou en radians. Par exemple, une différence de phase de 30^o ou π/6.

Comment pouvons-nous montrer cette différence de phase dans notre équation d’onde sinusoïdale de base ci-dessus ? Il suffit d’ajouter Φ (Phi) à cela pour créer une expression plus générale pour une onde sinusoïdale comme suit :

Équation de l’Onde Sinusoïdale

a_(t) = A_max sin(2πƒt ± Φ) ou a_(t) = A_max sin(ωt ± Φ)

Notez que lorsque la forme d’onde passe par zéro sur l’axe horizontal, Φ = 0. Ainsi, nous pouvons dire que A_maxsin(ωt ± 0) équivaut simplement à A_maxsin(ωt). De plus, les formes d’onde sinusoïdales peuvent être décalées vers la gauche ou vers la droite de la forme d’onde de référence.

En général, la forme d’onde qui passe d’abord par son point zéro est dite mener l’autre, tandis que l’autre forme d’onde est dite suivre la première. Cela dépend de la forme d’onde utilisée comme référence. Considérez l’exemple suivant.

Différence de Phase entre Deux Ondes Sinusoïdales

La forme d’onde de tension (en bleu) ci-dessus commence à zéro le long de l’axe horizontal x, mais à ce même instant de temps, la forme d’onde de courant (en rouge) est encore négative et ne traverse pas cet axe de référence avant 30^o plus tard.

Il existe alors une différence dans les phases entre les deux formes d’onde alors que le courant traverse l’axe de référence horizontal atteignant son pic maximal et ses valeurs zéro 30^o après la forme d’onde de tension.

Comme les deux formes d’onde ne sont plus « en phase », elles doivent donc être « hors phase » d’un montant déterminé par phi, Φ et dans notre exemple, c’est 30^o. Nous pouvons donc dire que les deux formes d’onde ont une différence de phase de 30^o. Autrement dit, la forme d’onde de courant est en retard (arrivant plus tard) derrière la forme d’onde de tension par l’angle de phase, Φ.

Exemple d’Onde Sinusoïdale No3

Quelle est la différence de phase entre les formes d’onde de tension et de courant suivantes :

v = 100 sin(ωt + 30^o)  et  i = 10 sin(ωt + 60^o)

Réponse : le courant (i) mène la tension (v) par : [60^o – 30^o] = 30^o

v = 100 sin(ωt – 60^o)  et  i = 10 sin(ωt – 90^o)

Réponse : le courant (i) retarde la tension (v) de : [-60^o – (-90^o)] = 30^o

Résumé du Tutoriel

Nous avons ici vu qu’une onde sinusoïdale peut être définie comme une forme d’onde périodique continue variant dans le temps dont la forme peut être décrite par l’expression mathématique simple : y = sin(θ). Où θ (thêta) est l’angle.

Nous avons également vu qu’un graphique d’onde sinusoïdale peut être créé en faisant tourner une bobine de fil à vitesse constante à l’intérieur d’un champ magnétique, ou en le traçant mathématiquement à l’aide du théorème de Pythagore autour d’un circuit unitaire. Notez qu’une forme d’onde sinusoïdale représentera toujours une quantité AC. Il n’existe pas de « onde sinusoïdale en courant continu ».

En faisant tourner un ou plusieurs vecteurs autour d’un cercle unitaire, nous pouvons tracer un graphique d’onde sinusoïdale par rapport au temps dont les paramètres incluent la fréquence, l’amplitude et la phase. Le temps nécessaire à une forme d’onde pour passer par un cycle complet de 360^o est appelé période (T), qui peut être exprimée en degrés ou en radians.

Le nombre de périodes de forme d’onde produites en une seconde de temps est appelé fréquence, mesurée en Hertz (Hz). Où ƒ = 1/T. Alors que la fréquence angulaire (ω) d’une onde sinusoïdale en radians/s (rads/s) est généralement donnée comme ; ω = 2πƒ. La différence de phase (Φ) est la différence angulaire par laquelle une forme d’onde sinusoïdale mène ou retarde une autre.