Les diagrammes de phasors présentent une représentation graphique, tracée sur un système de coordonnées, de la relation de phase entre les tensions et les courants au sein de composants passifs ou d’un circuit entier. Généralement, les phasors sont définis par rapport à un phasor de référence qui pointe toujours vers la droite le long de l’axe des x.

Les formes d’onde sinusoïdales de la même fréquence peuvent avoir une différence de phase entre elles, ce qui représente la différence angulaire des deux formes d’onde sinusoïdales. De plus, les termes “avance” et “retard” ainsi que “en phase” et “hors phase” sont couramment utilisés pour indiquer la relation d’une forme d’onde sinusoïdale à une autre. L’expression sinusoïdale généralisée donnée par : A_(t) = A_m sin(ωt ± Φ) représente la sinusoïde sous la forme temporelle.

Cependant, lorsqu’elle est présentée mathématiquement de cette manière, il peut parfois être difficile de visualiser la différence angulaire ou de phasor entre deux (ou plusieurs) formes d’onde sinusoïdales. Une façon de surmonter ce problème est de représenter les sinusoïdes graphiquement dans le domaine spatial ou de phasor en utilisant des diagrammes de phasors, ce qui est réalisé par la méthode du vecteur tournant.

Fondamentalement, un vecteur tournant, également considéré comme un “Vecteur de Phase“, est une ligne mise à l’échelle dont la longueur représente une quantité AC qui a à la fois une amplitude (“amplitude de crête”) et une direction (“phase”) et qui a été “gelée” à un moment donné.

Un vecteur qui a une tête de flèche à une extrémité représente en partie la valeur maximale de la quantité vecteur ( Vm ou Im ) et en partie l’extrémité du vecteur qui tourne.

En général, on suppose que les vecteurs pivote à une extrémité autour d’un point zéro fixe connu sous le nom de “point d’origine”. L’extrémité fléchée représente la quantité qui tourne librement dans le sens antihoraire à une vitesse angulaire, ( ω ). Cette rotation antihoraire du vecteur est considérée comme une rotation positive. De la même manière, une rotation horaire est considérée comme une rotation négative.

Bien que les termes vecteurs et phasors soient utilisés pour décrire une ligne tournante qui a elle-même à la fois une amplitude et une direction, la principale différence entre les deux réside dans le fait que l’amplitude d’un vecteur est la “valeur de crête” de la sinusoïde tandis que l’amplitude complexe d’un phasor est la “valeur efficace” de la sinusoïde, car ils traitent de circuits AC qui ont une réactance. Dans les deux cas, l’angle de phase, la direction et la vitesse angulaire restent les mêmes.

La phase d’une quantité alternative à tout instant peut être représentée par des diagrammes de phasors. Ainsi, les diagrammes de phasors peuvent être considérés comme représentant des “fonctions du temps”. Une onde sinusoïdale complète peut être construite par un vecteur unique tournant dans le sens antihoraire à une vitesse angulaire de ω = 2πƒ, où ƒ représente la fréquence de la forme d’onde. Ensuite, un Phasor est une quantité qui a à la fois “Magnitude” et “Direction”.

De plus, les vecteurs obéissent à la loi de l’addition et de la soustraction des parallélogrammes, ils peuvent donc être additionnés pour produire une somme vectorielle qui tourne dans le sens antihoraire à une vitesse angulaire. Les phasors, eux, représentent les formes mathématiques : Rectangulaire, Polaire ou Exponentielle. Par exemple, (a + jb). Ainsi, la notation de phasor définit l’amplitude efficace (rms) des tensions et des courants.

En général, lors de la construction d’un diagramme de phasor, la vitesse angulaire d’une onde sinusoïdale est toujours supposée être : ω en rad/sec. Considérons le diagramme de phasors ci-dessous.

Diagrammes de Phasors pour une Onde Sinusoïdale

À mesure que le vecteur unique tourne dans le sens antihoraire, son extrémité au point A fera une révolution complète de 360^o ou 2π représentant un cycle complet.

Si la longueur de son extrémité mobile est transférée à des intervalles angulaires différents dans le temps à un graphique comme celui montré ci-dessus, une onde sinusoïdale serait tracée en commençant à gauche avec un temps zéro. Chaque position le long de l’axe horizontal indique le temps écoulé depuis le temps zéro, t = 0. Lorsque le vecteur est horizontal, l’extrémité du vecteur représente les angles à 0^o, 180^o et à 360^o.

De même, lorsque l’extrémité du vecteur est verticale, elle représente la valeur de crête positive, ( +Am ) à 90^o ou π/2 et la valeur de crête négative, ( -Am ) à 270^o ou 3π/2. Ensuite, l’axe temporel de la forme d’onde représente l’angle soit en degrés soit en radians à travers lequel le phasor s’est déplacé. Nous pouvons donc dire qu’un phasor représente une valeur de tension ou de courant mise à l’échelle d’un vecteur tournant qui est “gelé” à un moment donné, ( t ) et dans notre exemple ci-dessus, ceci est à un angle de 30^o.

Parfois, lorsque nous analysons des formes d’onde alternatives, nous pouvons avoir besoin de connaître la position du phasor, représentant la quantité alternative à un certain point particulier, surtout lorsque nous voulons comparer deux formes d’onde différentes sur le même axe. Par exemple, tension et courant. Nous avons supposé dans la forme d’onde ci-dessus que la forme d’onde commence au temps t = 0 avec un angle de phase correspondant en degrés ou en radians.

Cependant, si une deuxième forme d’onde commence à gauche ou à droite de ce point zéro ou si nous voulons représenter en notation de phasor la relation entre les deux formes d’onde, alors nous devrons tenir compte de cette différence de phase, Φ de la forme d’onde. Considérons le diagramme ci-dessous du tutoriel précédent sur la Différence de Phase.

Différence de Phase d’une Onde Sinusoïdale

L’expression mathématique généralisée pour définir ces deux quantités sinusoïdales sera écrite comme suit :

Le courant, i retarde la tension, v d’un angle Φ et dans notre exemple ci-dessus, ceci est 30^o. Donc la différence entre les deux phasors représentant les deux quantités sinusoïdales est l’angle Φ et le diagramme de phasor résultant sera.

Diagramme de Phasor d’une Onde Sinusoïdale

Le diagramme de phasor est dessiné correspondant au temps zéro ( t = 0 ) sur l’axe horizontal. Les longueurs des phasors sont proportionnelles aux valeurs de la tension, ( V ) et du courant, ( I ) au moment où le diagramme de phasors est dessiné.

Le phasor de courant retarde le phasor de tension d’un angle, Φ, alors que les deux phasors tournent dans un sens antihoraire comme mentionné précédemment, donc l’angle, Φ est également mesuré dans la même direction antihoraire.

Cependant, si les formes d’onde sont maintenant gelées au temps, t = 30^o, le diagramme de phasor correspondant ressemblera à celui montré à droite. Encore une fois, le phasor de courant retarde le phasor de tension car les deux formes d’onde sont de la même fréquence.

Cependant, comme la forme d’onde du courant traverse maintenant la ligne zéro de l’axe horizontal à cet instant, nous pouvons utiliser le phasor de courant comme notre nouvelle référence et dire correctement que le phasor de tension “avance” par rapport au phasor de courant d’un angle, Φ. De toute façon, un phasor est désigné comme le phasor de référence et tous les autres phasors seront soit en avance, soit en retard par rapport à cette référence.

Addition de Phasor de Diagrammes de Phasors

Une bonne utilisation des phasors est pour l’addition des sinusoïdes de la même fréquence. Parfois, il est nécessaire lors de l’étude des sinusoïdes d’ajouter ensemble deux formes d’onde alternatives, par exemple dans un circuit AC en série, qui ne sont pas en phase l’une par rapport à l’autre.

Si elles sont “en phase”, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de décalage de phase, alors elles peuvent être additionnées de la même manière que les valeurs DC pour trouver la somme algébrique des deux vecteurs. Par exemple, si deux tensions de 50 volts et 25 volts respectivement sont “en phase”, elles s’additionneront pour former une tension de 75 volts (50 + 25).

Cependant, si elles ne sont pas en phase, c’est-à-dire qu’elles n’ont pas des directions ou points de départ identiques, alors l’angle de phase entre elles doit être pris en compte, donc elles sont ajoutées ensemble en utilisant des diagrammes de phasors pour déterminer leur Phasor Résultant ou Somme Vecteurielle en utilisant la loi des parallélogrammes.

Considérons deux tensions AC, V₁ ayant une tension de crête de 20 volts, et V₂ ayant une tension de crête de 30 volts où V₁ avance par rapport à V₂ de 60^o.

La tension totale, V_T des deux tensions peut être trouvée en traçant d’abord un diagramme de phasor représentant les deux vecteurs, puis en construisant un parallélogramme dans lequel deux des côtés sont les tensions, V₁ et V₂ comme montré ci-dessous.

Addition de Phasor de deux Phasors

En traçant les deux phasors à l’échelle sur du papier quadrillé, leur somme de phasor V₁ + V₂ peut être facilement trouvée en mesurant la longueur de la ligne diagonale, connue sous le nom de “vecteur r résultant”, depuis le point zéro jusqu’à l’intersection des lignes de construction 0-A. Le revers de cette méthode graphique est qu’elle prend du temps lors du dessin des phasors à l’échelle.

Aussi, bien que cette méthode graphique donne une réponse suffisamment précise pour la plupart des usages, elle peut produire une erreur si elle n’est pas dessinée avec précision ou correctement à l’échelle. Ainsi, une manière d’assurer que la réponse correcte est toujours obtenue est par une méthode analytique.

Mathématiquement, nous pouvons ajouter les deux tensions ensemble en trouvant d’abord leurs directions “verticales” et “horizontales”, et de là nous pouvons ensuite calculer les composants “verticaux” et “horizontaux” pour le “vecteur r résultant”, V_T. Cette méthode analytique qui utilise la règle du cosinus et du sinus pour trouver cette valeur résultante est communément appelée Forme Rectangulaire.

Dans la forme rectangulaire, le phasor est divisé en une partie réelle, x et une partie imaginaire, y formant l’expression généralisée  Z = x ± jy. ( Nous discuterons de cela plus en détail dans le prochain tutoriel ). Cela nous donne ainsi une expression mathématique qui représente à la fois l’amplitude et la phase de la tension sinusoïdale comme :

Définition d’une Sinusoïde Complexe

Ainsi, l’addition de deux vecteurs, A et B utilisant l’expression généralisée précédente est la suivante :

Addition de Phasor utilisant la Forme Rectangulaire

La tension, V₂ de 30 volts pointe dans la direction de référence le long de l’axe horizontal zéro, elle a donc une composante horizontale mais aucune composante verticale comme suit.

• • Composante Horizontale = 30 cos 0^o = 30 volts
• • Composante Verticale = 30 sin 0^o = 0 volts
• Cela nous donne donc l’expression rectangulaire pour la tension V₂ de :  30 + j0

La tension, V₁ de 20 volts avance sur la tension, V₂ de 60^o, elle a donc à la fois des composants horizontaux et verticaux comme suit.

• • Composante Horizontale = 20 cos 60^o = 20 x 0.5 = 10 volts
• • Composante Verticale = 20 sin 60^o = 20 x 0.866 = 17.32 volts
• Cela nous donne donc l’expression rectangulaire pour la tension V₁ de :  10 + j17.32

La tension résultante, V_T est trouvée en additionnant les composants horizontaux et verticaux comme suit.

• V_Horizontal = somme des parties réelles de V₁ et V₂ = 30 + 10 = 40 volts
• V_Vertical = somme des parties imaginaires de V₁ et V₂ = 0 + 17.32 = 17.32 volts

Maintenant que les valeurs réelles et imaginaires ont été trouvées, l’amplitude de la tension, V_T est déterminée en utilisant simplement le Théorème de Pythagore pour un triangle à 90^o comme suit.

Alors le diagramme de phasor résultant sera :

Valeur Résultante de V_T

Soustraction de Phasor de Diagrammes de Phasors

La soustraction de phasors est très similaire à la méthode rectangulaire d’addition ci-dessus, sauf que cette fois la différence vectorielle est l’autre diagonale du parallélogramme entre les deux tensions de V₁ et V₂ comme montré.

Soustraction Vectorielle de deux Phasors

Cette fois, au lieu d’“additionner” à la fois les composants horizontaux et verticaux, nous les soustrayons.

Les Diagrammes de Phasors Triphasés

Auparavant, nous n’avons regardé que des formes d’onde AC monophasées où une seule bobine à plusieurs tours tourne dans un champ magnétique. Mais si trois bobines identiques, chacune avec le même nombre de tours, sont placées à un angle électrique de 120^o les unes par rapport aux autres sur le même arbre rotatif, une alimentation de tension triphasée serait générée.

Une alimentation de tension triphasée équilibrée se compose de trois tensions sinusoïdales individuelles qui sont toutes égales en magnitude et en fréquence, mais hors phase les unes par rapport aux autres de 120^o degrés électriques.

Il est d’usage courant de coder par couleur les trois phases en Rouge, Jaune et Bleu pour identifier chaque phase individuelle, la phase rouge étant la phase de référence. La séquence normale de rotation pour une alimentation triphasée est Rouge suivie de Jaune suivie de Bleu, ( R, Y, B ).

Comme avec les phasors monophasés ci-dessus, les phasors représentant un système triphasé tournent également dans un sens antihoraire autour d’un point central comme indiqué par la flèche marquée ω en rad/s. Les phasors pour un système étoile ou delta connecté triphasé équilibré sont montrés ci-dessous.

Diagrammes de Phasors Triphasés

Les tensions de phase sont toutes égales en magnitude mais diffèrent seulement par leur angle de phase. Les trois enroulements de bobines sont reliés ensemble aux points, a₁, b₁ et c₁ pour produire une connexion neutre commune pour les trois phases individuelles. Puis, si la phase rouge est prise comme phase de référence, chaque tension de phase individuelle peut être définie par rapport au neutre commun comme.

Équations de Tension Triphasées

Si la tension de phase rouge, V_RN est prise comme tension de référence comme indiqué précédemment, alors la séquence de phase sera R – Y – B donc la tension de la phase jaune retardera V_RN de 120^o, et la tension de la phase bleue retardera également V_YN de 120^o. Mais nous pouvons également dire que la tension de la phase bleue, V_BN avance la tension de la phase rouge, V_RN de 120^o.

Un dernier point sur un système triphasé. Alors que les trois tensions sinusoïdales individuelles ont une relation fixe entre elles de 120^o, elles sont dites “équilibrées”, par conséquent, dans un ensemble de tensions triphasées équilibrées, leur somme de phasors sera toujours nulle comme :  V_a + V_b + V_c = 0

Résumé des Diagrammes de Phasors

Alors, pour résumer ce tutoriel sur les Diagrammes de Phasors un peu.

En termes simples, les diagrammes de phasors sont une projection d’un vecteur tournant sur un axe horizontal qui représente la valeur instantanée. Comme les diagrammes de phasors peuvent être tracés pour représenter n’importe quel instant de temps et donc n’importe quel angle, le phasor de référence d’une quantité alternative est toujours tracé le long de la direction positive de l’axe des x.

• Les vecteurs, les phasors et les Diagrammes de Phasors ne s’appliquent QU’aux quantités alternatives AC sinusoïdales.
• Les Diagrammes de Phasors peuvent être utilisés pour représenter deux ou plusieurs quantités stationnaires sinusoïdales à tout instant.
• En général, le phasor de référence est tracé le long de l’axe horizontal et à cet instant le temps les autres phasors sont tracés. Tous les phasors sont tracés par rapport à l’axe horizontal zéro.
• Les diagrammes de phasors peuvent être dessinés pour représenter plus de deux sinusoïdes. Ils peuvent être soit des tensions, des courants ou une autre quantité alternative, mais la fréquence de toutes doit être la même.
• Tous les phasors sont tracés tournant dans le sens antihoraire. Tous les phasors en avance par rapport au phasor de référence sont dits “en avance” tandis que tous les phasors en retard par rapport au phasor de référence sont dits “en retard”.
• En général, la longueur d’un phasor représente la valeur efficace (r.m.s.) de la quantité sinusoïdale plutôt que sa valeur maximale.
• Les sinusoïdes de différentes fréquences ne peuvent pas être représentées sur le même diagramme de phasors en raison de la vitesse différente des vecteurs. À tout instant, l’angle de phase entre eux sera différent.
• Deux ou plusieurs vecteurs peuvent être additionnés ou soustraits ensemble et devenir un seul vecteur, appelé un Vecteur Résultant.
• Le côté horizontal d’un vecteur est égal au vecteur réel ou “x”. Le côté vertical d’un vecteur est égal au vecteur imaginaire ou “y”. L’hypoténuse du triangle rectangle résultant est équivalente au vecteur “r”.
• Dans un système équilibré triphasé, chaque phasor individuel est déplacé de 120^o.

Dans le prochain tutoriel sur la Théorie AC, nous examinerons la représentation des formes d’onde sinusoïdales en tant que nombres complexes sous forme rectangulaire, polaire et exponentielle.