Qu’est-ce qu’un Filtre Sallen-Key ?

La conception du filtre Sallen et Key est une topologie de filtre actif de second ordre que nous pouvons utiliser comme blocs de construction de base pour mettre en œuvre des circuits de filtres d’ordre supérieur, tels que les circuits de filtre passe-bas (LPF), passe-haut (HPF) et passe-bande (BPF).

Comme nous l’avons vu dans cette section sur les filtres, les filtres électroniques, qu’ils soient passifs ou actifs, sont utilisés dans des circuits où l’amplitude des signaux n’est requise que sur une plage limitée de fréquences. L’avantage d’utiliser des conceptions de filtre Sallen-Key est qu’elles sont simples à mettre en œuvre et à comprendre.

La topologie Sallen et Key est un design de filtre actif basé sur un seul amplificateur opérationnel non-inversant et deux résistances, créant ainsi un design de source de tension contrôlée par tension (VCVS) avec des caractéristiques de filtre telles qu’une haute impédance d’entrée, une faible impédance de sortie et une bonne stabilité, permettant ainsi d’associer des sections de filtre Sallen-Key pour produire des filtres d’un ordre beaucoup plus élevé.

Mais avant d’examiner la conception et le fonctionnement du filtre Sallen-Key, rappelons-nous d’abord les caractéristiques d’un réseau de résistances et de condensateurs simple, ou RC, lorsqu’il est soumis à une plage de fréquences d’entrée.

Le Diviseur de Tension

Lorsque deux (ou plusieurs) résistances sont connectées ensemble à travers une tension d’alimentation continue, des valeurs de tension différentes seront développées à travers chaque résistance, formant ainsi ce que l’on appelle essentiellement un diviseur de tension ou un réseau de diviseur de potentiel.

Diviseur de Tension Résistif

Le circuit basique montré consiste en deux résistances en série connectées à une tension d’entrée, V_IN.

La Loi d’Ohm nous dit que la tension tombée à travers une résistance est la somme du courant qui la traverse multipliée par sa valeur résistive, V = I*R. Ainsi, si les deux résistances sont égales, la tension tombée à travers les résistances R1 et R2 sera également égale et se répartira également entre elles.

La tension développée ou tombée à travers la résistance R2 représente la tension de sortie, V_OUT et est donnée par le rapport des deux résistances et de la tension d’entrée. Ainsi, la fonction de transfert pour ce simple réseau de diviseur de tension est donnée comme :

Fonction de Transfert du Diviseur de Tension Résistif

Mais que se passerait-il si nous changions la tension d’entrée pour une alimentation AC ou un signal en faisant varier sa plage de fréquence ? Eh bien, en fait rien, car les résistances ne sont généralement pas affectées par les variations de fréquence (à l’exception des résistances à fil), donc leur réponse en fréquence est nulle, permettant aux tensions AC, Irms²*R d’être développées ou tombées à travers les résistances tout comme ce serait le cas pour des tensions DC en régime permanent.

Le Diviseur de Tension RC

Si nous remplaçons la résistance R1 ci-dessus par un condensateur, C, comme montré, comment cela influencerait-il notre fonction de transfert précédente ? Nous savons grâce à nos tutoriels sur les Condensateurs qu’un condensateur se comporte comme un circuit ouvert une fois chargé lorsqu’il est connecté à une alimentation en tension DC.

Diviseur de Tension RC

Ainsi, lorsqu’une alimentation en tension DC est connectée à V_IN, le condensateur se chargera complètement après 5 constantes de temps (5T = 5RC) et durant ce temps, il ne tire aucun courant de l’alimentation. Par conséquent, aucun courant ne circule à travers la résistance R et aucune chute de tension ne se développe à travers elle, donc pas de tension de sortie. En d’autres termes, les condensateurs bloquent les tensions DC en régime permanent une fois chargés.

Si maintenant nous changeons l’alimentation d’entrée pour une tension sinusoïdale AC, les caractéristiques de ce simple circuit RC changent complètement car la partie continue ou DC du signal est bloquée. Nous analysons donc le circuit RC dans le domaine de la fréquence, c’est-à-dire la partie du signal qui dépend du temps.

Dans un circuit AC, un condensateur a la propriété de réactance capacitive, X_C, mais nous pouvons toujours analyser le circuit RC de la même manière que nous l’avons fait avec les circuits uniquement résistifs, la différence étant que l’impédance du condensateur dépend maintenant de la fréquence.

Pour les circuits et les signaux AC, la réactance capacitive (X_C) est l’opposition au flux de courant alternatif à travers un condensateur mesurée en Ohm. La réactance capacitive dépend de la fréquence; à basse fréquence (ƒ ≅ 0), le condensateur se comporte comme un circuit ouvert et les bloque.

À de très hautes fréquences (ƒ ≅ ∞), le condensateur se comporte comme un court-circuit et passe les signaux directement à la sortie comme V_OUT = V_IN. Cependant, quelque part entre ces deux extrêmes de fréquence, le condensateur a une impédance donnée par X_C. Ainsi, notre fonction de transfert pour le diviseur de tension devient :

Fonction de Transfert du Diviseur de Tension RC

Ainsi, des changements de fréquence provoquent des changements dans X_C, ce qui cause des changements dans l’amplitude de la tension de sortie. Considérons le circuit ci-dessous.

Circuit Filtre RC

Le graphique montre la réponse en fréquence de ce simple circuit RC de premier ordre. À basse fréquence, le gain de tension est extrêmement bas, car le signal d’entrée est bloqué par la réactance du condensateur. À haute fréquence, le gain de tension est élevé (unité) car la réactance fait que le condensateur devient effectivement un court-circuit pour ces hautes fréquences, donc V_OUT = V_IN.

Cependant, il y a un point de fréquence où la réactance du condensateur est égale à la résistance de la résistance, c’est-à-dire : X_C = R, et c’est ce qu’on appelle le point de “fréquence critique”, ou plus communément appelé fréquence de coupure ou fréquence de coin ƒ_C.

Comme la fréquence de coupure se produit lorsque X_C = R, l’équation standard utilisée pour calculer ce point de fréquence critique est donnée comme :

Équation de Fréquence de Coupure

La fréquence de coupure, ƒ_C définit où le circuit, dans cet exemple, change d’atténuer ou de bloquer toutes les fréquences en dessous de ƒ_C et commence à passer toutes les fréquences au-dessus de ce point ƒ_C. Ainsi, le circuit est appelé un “filtre passe-haut”.

La fréquence de coupure est celle où le rapport du signal d’entrée à la sortie a une magnitude de 0.707 et lorsqu’il est converti en décibels, il est égal à -3dB. Cela est souvent appelé le point de -3dB d’un filtre.

Comme la réactance du condensateur est liée à la fréquence, c’est-à-dire que la réactance capacitive (X_C) varie inversement avec la fréquence appliquée, nous pouvons modifier l’équation de diviseur de tension ci-dessus pour obtenir la fonction de transfert de ce simple filtre passe-haut RC comme indiqué.

Circuit Filtre RC

L’un des principaux inconvénients d’un filtre RC est que l’amplitude de sortie sera toujours inférieure à l’entrée, de sorte qu’elle ne peut jamais dépasser l’unité. De plus, le chargement externe de la sortie par davantage d’étapes RC ou de circuits affectera les caractéristiques du filtre. Une façon de surmonter ce problème est de convertir le filtre passif RC en un “Filtre RC Actif” en ajoutant un amplificateur opérationnel à la configuration RC de base.

En ajoutant un amplificateur opérationnel, le filtre RC de base peut être conçu pour fournir une certaine quantité de gain de tension à sa sortie, transformant ainsi le filtre d’un atténuateur à un amplificateur. De plus, la haute impédance d’entrée et la faible impédance de sortie d’un amplificateur opérationnel empêchent le chargement externe du filtre, permettant ainsi un ajustement facile sur une large gamme de fréquences sans altérer la réponse en fréquence conçue.

Considérez le simple filtre passe-haut actif ci-dessous.

Filtre Passe-Haut Actif

La partie filtre RC du circuit réagit de la même manière que ci-dessus, c’est-à-dire en passant les hautes fréquences mais en bloquant les basses fréquences, avec la fréquence de coupure définie par les valeurs de R et C. L’amplificateur opérationnel, ou op-amp pour faire court, est configuré comme un amplificateur non-inversant dont le gain de tension est défini par le rapport des deux résistances, R₁ et R₂.

Ensuite, le gain de tension en boucle fermée, A_V dans la bande passante d’un amplificateur opérationnel non-inversant est donné comme :

Équation de Fréquence de Coupure

Exemple de Filtre RC N°1

Un filtre passe-haut actif simple de premier ordre doit avoir une fréquence de coupure de 500Hz et un gain en bande passante de 9dB. Calculez les composants nécessaires en supposant qu’un amplificateur opérationnel standard 741 est utilisé.

Comme nous l’avons vu ci-dessus, la fréquence de coupure, ƒ_C est déterminée par les valeurs de R et C dans le circuit RC sélectif en fréquence. Si nous supposons une valeur pour R de 5kΩ (toute valeur raisonnable ferait l’affaire), alors la valeur de C est calculée comme :

La valeur calculée de C est de 63.65nF, donc la valeur préférée la plus proche utilisée est de 62nF.

Le gain du filtre passe-haut dans la région de la bande passante est de +9dB, ce qui équivaut à un gain de tension A_V de 2.83. Supposons une valeur arbitraire pour la résistance de rétroaction, R₁ de 15kΩ, cela donne une valeur pour la résistance R₂ de :

Encore une fois, la valeur calculée de R₂ est de 8197Ω. La valeur préférée la plus proche serait de 8200Ω ou 8.2kΩ. Cela nous donne alors le circuit final pour notre exemple de filtre passe-haut actif :

Circuit Filtre Passe-Haut

Nous avons vu qu’un simple filtre passe-haut de premier ordre peut être réalisé à l’aide d’une seule résistance et d’un condensateur produisant une fréquence de coupure ƒ_C où l’amplitude de sortie est -3dB par rapport à l’amplitude d’entrée. En ajoutant une seconde étape de filtre RC à la première, nous pouvons transformer le circuit en un filtre passe-haut de second ordre.

Filtre RC de Second Ordre

Le filtre RC de second ordre le plus simple consiste en deux sections RC en cascade comme indiqué. Cependant, pour que cette configuration de base fonctionne correctement, les impédances d’entrée et de sortie des deux étapes RC ne doivent pas affecter le fonctionnement de l’autre, c’est-à-dire qu’elles devraient être non-interactives.

Circuit Filtre Passe-Haut

Cascader une étape de filtre RC avec une autre (valeurs RC identiques ou différentes) ne fonctionne pas très bien car chaque étape successive charge la précédente et lorsque davantage d’étapes RC sont ajoutées, le point de fréquence de coupure s’éloigne de plus en plus de la fréquence conçue ou requise.

Une façon de surmonter ce problème pour la conception d’un filtre passif consiste à avoir l’impédance d’entrée de la deuxième étape RC au moins 10 fois supérieure à l’impédance de sortie de la première étape RC. C’est-à-dire R_B = 10*R₁ et C_B = C_A/10 à la fréquence de coupure.

L’avantage d’augmenter les valeurs des composants d’un facteur de 10 est que le filtre de second ordre qui en résulte produit une pente plus raide de 40dB/décade que les étapes RC en cascade. Mais que se passerait-il si vous vouliez concevoir un filtre du 4^ème ou du 6^ème ordre ? Alors le calcul des dix fois la valeur des composants précédents peut être fastidieux et compliqué.

Une manière simple de cascader des étapes de filtre RC qui n’interagissent pas ou ne se chargent pas mutuellement pour créer des filtres d’ordre supérieur (les sections individuelles du filtre n’ont pas besoin d’être identiques) qui peuvent être facilement réglées et conçues pour fournir le gain de tension requis est d’utiliser des étapes de Filtre Sallen-Key.

Filtres Sallen et Key

Sallen-Key est l’une des configurations de filtre les plus courantes pour concevoir des filtres de premier ordre (1^er ordre) et de second ordre (2^ème ordre) et est donc utilisé comme blocs de construction de base pour créer des filtres d’ordre beaucoup plus élevé.

Les principaux avantages de la conception du filtre Sallen-Key sont :

• Simplicité et compréhension de leur conception de base
• Utilisation d’un amplificateur non-inversant pour augmenter le gain de tension
• Les conceptions de filtres de premier et de second ordre peuvent être facilement mises en cascade
• Les étapes passe-bas et passe-haut peuvent être mises en cascade
• Chaque étape RC peut avoir un gain de tension différent
• Répétition de composants RC et d’amplificateurs
• Les étapes Sallen-Key de second ordre ont une pente de 40dB/décade plus raide que les RC en cascade

Cependant, certaines limitations existent dans la conception de base du filtre Sallen-Key, car le gain de tension, A_V et le facteur de grossissement, Q sont étroitement liés en raison de l’utilisation d’un amplificateur opérationnel dans la conception Sallen-Key.

Presque n’importe quelle valeur de Q supérieure à 0.5 peut être réalisée car en utilisant une configuration non-inversante, le gain de tension, A_V sera toujours supérieur à 1 (unité) mais doit être inférieur à 3 sinon il deviendra instable.

La forme la plus simple de conception de filtre Sallen-Key consiste à utiliser des valeurs de condensateur et de résistance égales (mais les valeurs de C et de R n’ont pas besoin d’être égales), l’amplificateur opérationnel étant configuré comme un buffer à gain unitaire comme montré. Notez que la résistance R_A n’est plus connectée à la terre mais fournit plutôt une rétroaction positive pour l’amplificateur.

Circuit Filtre Passe-Haut Sallen-Key

Les composants passifs C_A, R_A, C_B et R_B forment le circuit sélectif de fréquence de second ordre.

Ainsi, à basse fréquence, les condensateurs C_A et C_B apparaissent comme des circuits ouverts, donc le signal d’entrée est bloqué, ce qui entraîne aucune sortie. À des fréquences plus élevées, C_A et C_B apparaissent pour le signal d’entrée sinusoïdal comme des courts circuits, donc le signal est tamponné directement jusqu’à la sortie.

Cependant, autour du point de fréquence de coupure, l’impédance de C_A et C_B sera égale à la valeur de R_A et R_B, comme noté ci-dessus, donc la rétroaction positive produite via C_B fournit un gain de tension et une augmentation de l’amplitude du signal de sortie, Q.

Puisque nous avons maintenant deux jeux de réseaux RC, l’équation ci-dessus pour la fréquence de coupure d’un filtre Sallen-Key est modifiée aussi :

Équation de Fréquence de Coupure Sallen-Key

Si les deux condensateurs en série C_A et C_B sont égaux (C_A = C_B = C) et les deux résistances R_A et R_B sont également égales (R_A = R_B = R), alors l’équation ci-dessus se simplifie pour revenir à l’équation originale de fréquence de coupure :

Comme l’amplificateur opérationnel est configuré en tant que buffer à gain unitaire, c’est-à-dire A = 1, la fréquence de coupure, ƒ_C et Q sont complètement indépendantes les unes des autres, ce qui permet une conception de filtre plus simple. Ensuite, le facteur de grossissement, Q est calculé comme :

Par conséquent, pour la configuration de buffer à gain unitaire, le gain de tension (A_V) du circuit de filtre est égal à 0.5, ou -6dB (sur amorti) au point de fréquence de coupure, et nous nous attendrions à voir cela car c’est une réponse de filtre de second ordre, étant donné que 0.7071*0.7071 = 0.5. C’est-à-dire que -3dB*-3dB = -6dB.

Cependant, comme la valeur de Q détermine les caractéristiques de réponse du filtre, la sélection appropriée des deux résistances de rétroaction de l’amplificateur opérationnel R₁ et R₂, nous permet de sélectionner le gain en bande passante requis A pour le facteur de grossissement choisi, Q.

Notez que pour une topologie de filtre Sallen-Key, sélectionner la valeur de A très proche de la valeur maximale de 3, entraînera des valeurs de Q élevées. Une valeur de Q élevée rendra la conception du filtre sensible aux variations de tolérance des valeurs des résistances de rétroaction R₁ et R₂.

Par exemple, en réglant le gain de tension à 2.9 (A = 2.9), la valeur de Q deviendra 10 (1/(3-2.9)), ainsi le filtre devient extrêmement sensible autour de ƒ_C.

Réponse du Filtre Sallen-Key

Nous pouvons alors voir que plus la valeur de Q est basse, plus la conception du filtre Sallen et Key sera stable. Alors que les valeurs élevées de Q peuvent rendre la conception instable, des gains très élevés produisant un Q négatif entraîneraient des oscillations.

Exemple de Filtre Sallen et Key N°2

Concevez un circuit de filtre passe-haut Sallen et Key de second ordre avec les caractéristiques suivantes : ƒ_C = 200Hz, et Q = 3.

Pour simplifier un peu les calculs, nous supposerons que les deux condensateurs en série C_A et C_B sont égaux (C_A = C_B = C) et que les deux résistances R_A et R_B sont également égales (R_A = R_B = R).

La valeur calculée de R est de 7957Ω, donc la valeur préférée la plus proche utilisée est de 8kΩ.

Pour Q = 3, le gain est calculé comme :

Si A = 2.667, alors le rapport de R₁/R₂ = 1.667 comme montré.

La valeur de R₂ est de 5998Ω, soit la valeur préférée la plus proche de 6000Ω ou 6kΩ. Cela nous donne alors le circuit final pour notre exemple de filtre passe-haut Sallen et Key :

Filtre Passe-Haut Sallen et Key

Ensuite, avec une fréquence de coupure ou de coin de 200Hz, un gain en bande passante de 2.667, et un gain de tension maximum à la fréquence de coupure de 8 (2.667*3) en raison de Q = 3, nous pouvons montrer les caractéristiques de ce filtre Sallen et Key passe-haut de second ordre dans le diagramme de Bode suivant.

Diagramme de Bode du Filtre Sallen et Key

Résumé du Filtre Sallen et Key

Nous avons vu dans ce tutoriel que la configuration Sallen-Key, également connue sous le nom de circuit source de tension contrôlée par tension (VCVS), est l’une des topologies de filtre les plus largement utilisées, principalement en raison du fait que l’amplificateur opérationnel utilisé dans sa conception peut être configuré comme un buffer à gain unitaire ou comme un amplificateur non inversant.

La configuration de base du filtre Sallen-Key peut être utilisée pour mettre en œuvre différentes réponses de filtre telles que Butterworth, Chebyshev ou Bessel avec la sélection appropriée du réseau filtrant RC. La plupart des valeurs pratiques de R et C peuvent être utilisées, en gardant à l’esprit qu’un point de fréquence de coupure spécifique, les valeurs de R et C sont inversement proportionnelles. Cela signifie que lorsque la valeur de R est réduite, C devient plus grande, et vice versa.

Le filtre Sallen-Key est une conception de filtre de 2^nd ordre qui peut être mise en cascade avec d’autres étapes RC pour créer des filtres d’ordre supérieur. Plusieurs étapes de filtre n’ont pas besoin d’être identiques, mais peuvent chacune avoir des caractéristiques de fréquence de coupure ou de gain différentes. Par exemple, assembler une étape passe-bas et une étape passe-haut pour créer un filtre passe-bande Sallen et Key.

Nous avons examiné la conception d’un filtre passe-haut Sallen-Key, mais les mêmes règles s’appliquent également à un modèle passe-bas Sallen-Key. Le gain de tension, A_V de l’op-amp détermine sa réponse. Le gain de tension est prédéfini par les deux résistances du diviseur de tension, R₁ et R₂, en gardant à l’esprit que le gain de tension doit toujours être inférieur à 3, sinon, le circuit du filtre deviendra instable et oscillera.