Les filtres à variable d’état utilisent trois (ou plusieurs) circuits amplificateurs opérationnels (l’élément actif) en cascade pour produire les sorties de filtre individuelles, mais un amplificateur de sommation supplémentaire peut également être ajouté pour produire une quatrième réponse de filtre notch.

Les filtres à variable d’état sont des filtres RC actifs de second ordre constitués de deux intégrateurs à amplificateurs opérationnels identiques, chacun agissant comme un filtre passe-bas à un pôle de premier ordre, et un amplificateur de sommation autour duquel nous pouvons régler le gain et son réseau de rétroaction d’amortissement. Les signaux de sortie des trois étapes d’amplification opérationnelle sont renvoyés à l’entrée, nous permettant de définir l’état du circuit.

Un des principaux avantages d’une conception de filtre à variable d’état est que les trois paramètres principaux des filtres, le gain (A), la fréquence de coupure, ƒ_C, et le Q des filtres peuvent être ajustés ou réglés indépendamment sans affecter les performances du filtre.

En fait, si conçu correctement, la fréquence de coupure à -3 dB, ( ƒc ) pour les réponses d’amplitude passe-bas et passe-haut devrait être identique au point de fréquence centrale de l’étage passe-bande. Cela signifie que ƒ_LP(-3dB) est égal à ƒ_HP(-3dB), ce qui est égal à ƒ_BP(center). De plus, le facteur d’amortissement, ( ζ ) pour la réponse du filtre passe-bande devrait être égal à 1/Q car Q sera réglé à -3dB, (0,7071).

Bien que le filtre fournisse des sorties passe-bas (LP), passe-haut (HP) et passe-bande (BP), l’application principale de ce type de circuit de filtre est comme conception de filtre passe-bande à variable d’état avec la fréquence centrale réglée par les deux intégrateurs RC.

Nous avons vu précédemment que les caractéristiques d’un filtre passe-bande peuvent être obtenues en cascadant simplement un filtre passe-bas avec un filtre passe-haut, mais les filtres passe-bande à variable d’état ont l’avantage de pouvoir être réglés pour être très sélectifs (high Q) offrant de forts gains au point de fréquence centrale.

Il existe plusieurs conceptions de filtres à variable d’état disponibles, toutes basées sur la conception de filtres standard, avec des variations inversantes et non inversantes. Cependant, la conception de base du filtre sera la même pour les deux variations comme illustré dans le diagramme fonctionnel ci-dessous.

Diagramme de bloc du filtre à variable d’état

Nous pouvons voir à partir du diagramme de base ci-dessus que le filtre à variable d’état a trois sorties possibles, V_HP, V_BP, et V_LP, avec une sortie provenant de chaque amplificateur opérationnel. Une réponse de filtre notch peut également être réalisée par l’ajout d’un quatrième amplificateur opérationnel.

Avec une tension d’entrée constante, V_IN, la sortie de l’amplificateur de sommation produit une réponse passe-haut qui devient également l’entrée du premier intégrateur RC. La sortie de cet intégrateur produit une réponse passe-bande qui devient l’entrée du second intégrateur RC produisant une réponse passe-bas à sa sortie. En conséquence, des fonctions de transfert séparées pour chaque sortie individuelle par rapport à la tension d’entrée peuvent être trouvées.

La conception de filtre à variable d’état non inversant de base est donc donnée comme suit :

Circuit du filtre à variable d’état

Et la réponse d’amplitude des trois sorties du filtre à variable d’état ressemblera à :

Réponse normalisée d’un filtre à variable d’état

Un des principaux éléments de conception d’un filtre à variable d’état est son utilisation de deux intégrateurs à amplificateurs opérationnels. Comme nous l’avons vu dans le tutoriel sur les intégrateurs, les intégrateurs à amplificateurs opérationnels utilisent une impédance dépendante de la fréquence sous forme de condensateur au sein de leur boucle de rétroaction. Comme un condensateur est utilisé, la tension de sortie est proportionnelle à l’intégrale de la tension d’entrée comme illustré.

Circuit de l’intégrateur à amplificateur opérationnel

Pour simplifier un peu les mathématiques, cela peut également être réécrit dans le domaine de la fréquence comme suit :

La tension de sortie Vout est un constant 1/RC fois l’intégrale de la tension d’entrée Vin par rapport au temps. Les intégrateurs produisent un retard de phase avec le signe moins ( – ) indiquant un décalage de phase de 180^o car le signal d’entrée est connecté directement à la borne d’entrée inversante de l’amplificateur opérationnel.

Dans le cas de l’amplificateur opérationnel A2 ci-dessus, son signal d’entrée est connecté à la sortie de l’amplificateur opérationnel précédent, A1, donc son entrée est donnée comme V_HP et sa sortie comme V_BP. Ensuite, à partir de ci-dessus, l’expression pour l’amplificateur opérationnel A2 peut être écrite comme suit :

Ensuite, en réarrangeant cette formule, nous pouvons trouver la fonction de transfert de l’intégrateur inversant, A2.

Fonction de transfert de l’amplificateur A2

Exactement la même hypothèse peut être faite comme ci-dessus pour trouver la fonction de transfert de l’autre intégrateur à amplificateur opérationnel, A3.

Fonction de transfert de l’amplificateur A3

Ainsi, les deux intégrateurs à amplificateurs opérationnels, A2 et A3 sont connectés en cascade, donc la sortie du premier (V_BP) devient l’entrée du second. Ainsi, nous pouvons voir que la réponse passe-bande est créée par l’intégration de la réponse passe-haut et la réponse passe-bas est créée par l’intégration de la réponse passe-bande. Par conséquent, la fonction de transfert entre V_HP et V_LP est donnée comme suit :

Notez que chaque étape intégrateur fournit une sortie inversée, mais la sortie sommée sera positive puisque ce sont des intégrateurs inversants. Si exactement les mêmes valeurs pour R et C sont utilisées, de sorte que les deux circuits ont la même constante de temps d’intégration, les deux circuits amplificateurs peuvent être considérés comme un seul circuit d’intégrateur ayant une fréquence de coupure, ƒ_C.

En plus des deux circuits intégrateurs, le filtre possède également un amplificateur de sommation différentiel fournissant une sommation pondérée de ses entrées. L’avantage ici est que les entrées de l’amplificateur de sommation, A1 combinent la rétroaction oscillatoire, l’amortissement et les signaux d’entrée au filtre, toutes les trois sorties étant renvoyées aux entrées de sommation.

Circuit amplificateur de sommation

L’amplificateur opérationnel A1 est connecté comme un circuit d’addition-soustraction. Cela signifie qu’il additionne le signal d’entrée, V_IN avec la sortie V_BP de l’amplificateur opérationnel A2 et soustrait de celui-ci la sortie V_LP de l’amplificateur opérationnel A3, ainsi :

Et

Comme les entrées différentielles, +V et -V d’un amplificateur opérationnel sont les mêmes, c’est-à-dire : +V – -V, nous pouvons réarranger les deux expressions ci-dessus pour trouver la fonction de transfert de la sortie de A1, la sortie passe-haut.

Nous savons de ce qui précède que V_BP et V_LP sont les sorties des deux intégrateurs, A2 et A3 respectivement. En substituant les équations d’intégrateur pour A2 et A3 dans l’équation ci-dessus, nous obtenons la fonction de transfert du filtre à variable d’état comme suit :

Fonction de transfert du filtre à variable d’état

Nous avons dit précédemment qu’un filtre à variable d’état produit trois réponses de filtre, passe-bas, passe-haut et passe-bande et que la réponse passe-bande est celle d’un filtre de haute Q très étroit, ce qui est évident dans la fonction de transfert SVF ci-dessus car elle ressemble à celle d’une réponse standard du second ordre.

Fonction de transfert normalisée du 2nd ordre

Fréquence de coupure des filtres, ƒ_C

Si nous faisons que les résistances d’entrée des intégrateurs et les condensateurs de rétroaction soient identiques, alors la fréquence de coupure du filtre à variable d’état peut être facilement réglée sans affecter son Q global. De même, la valeur de Q peut être variée sans altérer la fréquence de coupure. Alors la fréquence de coupure est donnée comme suit :

Fréquence de coupure du filtre à variable d’état

Si nous faisons que les résistances de rétroaction R3 et R4 aient les mêmes valeurs, alors la fréquence de coupure de chaque sortie de filtre du filtre à variable d’état devient simplement :

Ensuite, le réglage de la fréquence de coupure du filtre à variable d’état est accompli simplement en faisant varier soit la résistance de réglage, R ou le condensateur, C.

Les filtres à variable d’état sont caractérisés non seulement par leurs réponses de sortie individuelles, mais aussi par le Q, facteur de qualité du filtre. Q est lié à la “précision” de la courbe de réponse en amplitude des filtres passe-bande et plus le Q est élevé, plus la réponse de sortie est élevée ou aigüe, résultant en un filtre très sélectif.

Pour un filtre passe-bande, Q est défini comme la fréquence centrale divisée par la largeur de bande à -3dB du filtre, c’est-à-dire Q = ƒc/BW. Mais Q peut également être trouvé à partir du dénominateur de la fonction de transfert ci-dessus car c’est le réciproque du facteur d’amortissement ( ζ ). Alors Q est donné comme suit :

Le facteur Q d’un filtre à variable d’état

Encore une fois, si les résistances R3 et R4 sont égales et que les composants de l’intégrateur R et C sont identiques, alors l’expression de la racine carrée finale se réduira à : √1 ou simplement 1 étant donné que le numérateur et le dénominateur s’annulent.

Exemple de filtre à variable d’état n°1

Concevoir un filtre à variable d’état ayant une fréquence de coupure (naturelle non atténuée) de ƒ_C de 1 kHz et un facteur de qualité, Q, de 10. Supposer que les résistances et les condensateurs déterminant la fréquence sont égaux. Déterminez le gain en courant continu du filtre et dessinez le circuit résultant ainsi que le tracé de Bode.

Nous avons dit ci-dessus que si la résistance R et le condensateur de rétroaction C des deux circuits intégrateurs sont les mêmes values, c’est-à-dire R = R et C = C, le point de coupure ou de fréquence de coupure pour le filtre est donné simplement comme suit :

Fréquence de coupure du filtre

Nous pouvons choisir une valeur pour soit la résistance, soit le condensateur pour trouver la valeur de l’autre. Si nous supposons une valeur appropriée de 10nF pour le condensateur, alors la valeur de la résistance sera :

Donnant C = 10nF et R = 15.9kΩ, ou 16kΩ à la valeur préférée la plus proche.

La valeur de Q est donnée comme 10. Cela est lié au coefficient d’amortissement du filtre comme suit :

Dans la fonction de transfert du filtre à variable d’état ci-dessus, la partie 2ζ est remplacée par la combinaison de résistances donnant :

Nous savons de ce qui précède que R = 16kΩ et C = 10nF, mais si nous supposons que les deux résistances de rétroaction, R3 et R4 sont identiques et égales à 10kΩ, alors l’équation ci-dessus se réduit à :

En supposant une valeur appropriée pour la résistance d’entrée, R1 d’environ 1kΩ, nous pouvons trouver la valeur de R2 comme suit :

A partir de la fonction de transfert normalisée ci-dessus, le gain passband en courant continu est défini comme A_o et à partir de la fonction de transfert équivalente du filtre à variable d’état, cela équivaut à :

Le gain passband en courant continu des filtres SVF

Par conséquent, le gain de tension continu du filtre est calculé à 1,9, ce qui équivaut essentiellement à R2/R3. De plus, le gain maximal du filtre à ƒ_C peut être calculé comme suit : A_o x Q.

Le gain maximum des filtres SVF

Circuit du filtre à variable d’état

La conception du circuit du filtre à variable d’état sera : R = 16kΩ, C = 10nF, R1 = 1kΩ, R2 = 19kΩ et R3 = R4 = 10kΩ comme illustré.

Conception du filtre à variable d’état

Nous pouvons maintenant tracer les courbes de réponse de sortie individuelles pour le circuit du filtre à variable d’état sur une plage de fréquences allant de 1 Hz à 1 MHz sur un tracé de Bode comme montré.

Tracé de Bode du filtre à variable d’état

Nous pouvons voir à partir des courbes de réponse du filtre ci-dessus que le gain continu du circuit du filtre est à 5,57 dB ce qui équivaut à un gain en tension en boucle ouverte, A_o, ou 1,9 comme calculé ci-dessus. La réponse montre également que les courbes de sortie atteignent un gain de tension maximal de 25,6 dB à la fréquence de coupure grâce à la valeur de Q. Comme Q relie également la fréquence centrale du filtre passe-bande à sa largeur de bande, la largeur de bande du filtre sera donc : ƒ_o/10 = 100Hz.

Nous avons vu dans ce tutoriel sur le filtre à variable d’état que plutôt qu’un filtre actif produisant un type de réponse en fréquence, nous pouvons utiliser des techniques de rétroaction multiple pour produire simultanément toutes les trois réponses de filtre, passe-bas, passe-haut et passe-bande à partir de la même conception de filtre actif unique.

Mais en plus des trois réponses de filtre de base, nous pouvons ajouter un circuit d’amplificateur opérationnel supplémentaire à la conception de filtre à variable d’état ci-dessus pour produire une quatrième réponse de sortie ressemblant à celle d’un filtre notch standard.

Conception du filtre notch

Un filtre notch est essentiellement l’opposé d’un filtre passe-bande, en ce sens qu’il rejette ou arrête une bande spécifique de fréquences. Donc un filtre notch est également connu sous le nom de “filtre coupe-bande”. Pour obtenir la réponse d’un filtre notch à partir de la conception de filtre à variable d’état de base, nous devons additionner les réponses de sortie passe-haut et passe-bas à l’aide d’un autre amplificateur de sommation, A4 comme montré.

Circuit du filtre notch

Ici, pour simplifier, nous avons supposé que les deux résistances d’entrée, R5 et R6 ainsi que la résistance de rétroaction, R7 ont toutes la même valeur de 10kΩ, comme pour R3 et R4. Cela donne donc au filtre notch un gain de 1, unité.

La réponse de sortie du filtre notch et du filtre passe-bande sont liées, la fréquence centrale de la réponse passe-bande étant égale au point de réponse nulle du filtre notch, et dans cet exemple sera de 1 kHz.

De plus, la largeur de bande du notch est déterminée par le Q du circuit, exactement comme pour la réponse passe-bande. Le pic vers le bas est donc égal à la fréquence centrale divisée par la largeur de bande à -3 dB, c’est-à-dire la différence de fréquence entre les points -3 dB de chaque côté du notch. Notez que le facteur de qualité Q n’a rien à voir avec la profondeur réelle du notch.

Cette conception de filtre notch (coupe-bande) de base n’a que deux entrées appliquées à son amplificateur de sommation, la sortie passe-bas, V_LP et la sortie passe-haut, V_HP. Cependant, il existe deux autres signaux disponibles à partir du circuit de filtre à variable d’état de base, la sortie passe-bande, V_BP et le signal d’entrée lui-même, V_IN.

Si l’un de ces deux signaux est également utilisé comme entrée à l’amplificateur de sommation du filtre notch avec les signaux passe-bas et passe-haut, alors la profondeur du notch peut être contrôlée.

Selon que vous souhaitiez contrôler ou non la sortie de la section filtre notch dépendra de quel signal parmi les deux disponibles vous utiliseriez. S’il était requis que le notch de sortie change d’une réponse négative à une réponse positive à la fréquence naturelle non atténuée ƒ_o, alors le signal de sortie passe-bande V_BP serait utilisé.

De même, s’il était requis que le notch de sortie varie uniquement dans sa profondeur négative descendante, alors le signal d’entrée, V_IN, serait utilisé. Si l’un de ces deux signaux supplémentaires était connecté à l’amplificateur de sommation à travers une résistance variable, alors la profondeur et la direction du notch pourraient être entièrement contrôlées. Considérez le circuit de filtre notch modifié ci-dessous.

Profondeur variable du filtre notch

Résumé du filtre à variable d’état

Le filtre à variable d’état, (SVF) est un circuit de filtre RC actif de second ordre qui utilise des techniques de rétroaction multiple pour produire trois sorties de réponses en fréquence différentes, à savoir : passe-bas, passe-haut et passe-bande à partir du même filtre unique. L’avantage du filtre à variable d’état par rapport aux autres conceptions de filtres de base est que les trois principaux paramètres du filtre, le gain, Q et ƒc peuvent être ajustés indépendamment.

Nous avons également observé ici que le filtre est également facile à régler car la fréquence de coupure, ƒc peut être définie et ajustée en faisant varier soit R, soit C sans affecter le facteur d’amortissement des filtres. Cependant, à des fréquences de coupure plus élevées et des facteurs d’amortissement plus importants, le filtre peut devenir instable, il est donc préférable de l’utiliser avec de faibles Q, inférieurs à 10, et à faible fréquence de coupure.

La conception de base du filtre à variable d’état utilise trois sections d’amplificateurs opérationnels pour produire ses sorties, mais nous avons également vu qu’avec l’ajout d’une quatrième section d’amplificateur opérationnel étant profitant de la rétroaction, la sortie d’un filtre notch (coupe-bande) peut également être obtenue à la fréquence centrale souhaitée.