Le Théorème et les Lois de DeMorgan dans l’Analyse des Circuits Logiques
Les théorèmes et les lois de DeMorgan peuvent être utilisés pour déterminer l’équivalence des portes NAND et NOR.
Le théorème de DeMorgan utilise deux ensembles de règles ou lois pour résoudre diverses expressions d’algèbre booléenne en transformant les OU en ET, et les ET en OU.
L’algèbre booléenne utilise un ensemble de lois et de règles pour définir le fonctionnement d’un circuit logique numérique, avec des “0” et des “1” employés pour représenter une condition d’entrée ou de sortie numérique. L’algèbre booléenne utilise ces zéros et uns pour créer des tables de vérité et des expressions mathématiques pour définir les opérations digitales de ET, OU et NON (ou inversion), ainsi que des moyens d’exprimer d’autres opérations logiques, comme la fonction XOR (OU exclusif).
Bien que l’ensemble de lois et de règles de George Boole nous permette d’analyser et de simplifier un circuit numérique, il existe deux lois au sein de cet ensemble qui appartiennent à Augustus DeMorgan (un mathématicien anglais du dix-neuvième siècle), qui considère les opérations logiques NAND et NOR comme des fonctions distinctes de NON ET et NON OU respectivement.
Mais avant d’explorer la théorie de DeMorgan plus en détail, rappelons-nous des opérations logiques de base où A et B sont des variables binaires d’entrée logiques (ou booléennes), dont les valeurs peuvent être soit “0” soit “1”, produisant ainsi quatre combinaisons d’entrée possibles, à savoir 00, 01, 10, et 11.
Table de Vérité pour Chaque Opération Logique
| Variable d’Entrée | Conditions de Sortie | ||||||
| A | B | ET | NAND | OU | NOR | ||
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
La table suivante fournit une liste des fonctions logiques courantes et leur notation booléenne équivalente, où un “.” (un point) signifie une opération ET (produit), un “+” (signe plus) signifie une opération OU (somme), et le complément ou l’inverse d’une variable est indiqué par une barre au-dessus de la variable.
| Fonction Logique | Notation Booléenne |
| ET | A.B |
| OU | A+B |
| NON | A |
| NAND | A .B |
| NOR | A+B |
La Théorie de DeMorgan
Les théorèmes de DeMorgan sont fondamentalement deux ensembles de règles ou lois développées à partir des expressions booléennes pour ET, OU et NON en utilisant deux variables d’entrée, A et B. Ces deux règles ou théorèmes permettent de négater les variables d’entrée et de les convertir d’une forme d’une fonction booléenne en une forme opposée.
Le premier théorème de DeMorgan stipule que deux (ou plusieurs) variables NORées ensemble sont équivalentes aux deux variables inversées (complément) et ANDées, tandis que le second théorème affirme que deux (ou plusieurs) variables NANDées ensemble sont équivalentes aux deux termes inversés (complément) et ORées. Cela signifie de remplacer tous les opérateurs OU par des opérateurs ET, ou tous les opérateurs ET par des opérateurs OU.
Premier Théorème de DeMorgan
Le premier théorème de DeMorgan prouve que lorsque deux (ou plusieurs) variables d’entrée sont ET’ées et négées, elles sont équivalentes à l’OU des compléments des variables individuelles. Ainsi, l’équivalent de la fonction NAND sera une fonction de négatif-OU, prouvant que A.B = A+B. Nous pouvons illustrer cette opération en utilisant la table suivante.
Vérification du Premier Théorème de DeMorgan à l’aide d’une Table de Vérité
| Entrées | Sorties de la Table de Vérité pour Chaque Terme | ||||||
| B | A | A.B | A.B | A | B | A + B | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Nous pouvons également montrer que A.B = A+B en utilisant des portes logiques comme indiqué.
Mise en Œuvre du Premier Théorème de DeMorgan à l’aide de Portes Logiques
L’arrangement de porte logique supérieur de : A.B peut être mis en œuvre en utilisant une porte NAND standard avec les entrées A et B. L’arrangement de porte logique inférieur inverse d’abord les deux entrées produisant A et B. Celles-ci deviennent ensuite les entrées de la porte OU. Par conséquent, la sortie de la porte OU devient : A+B.
Nous pouvons alors voir qu’une fonction de porte OU standard avec des inverseurs (portes NON) sur chacune de ses entrées équivaut à une fonction de porte NAND. Ainsi, une porte NAND individuelle peut être représentée de cette manière, car l’équivalence d’une porte NAND est un négatif-OU.
Second Théorème de DeMorgan
Le second théorème de DeMorgan prouve que lorsque deux (ou plusieurs) variables d’entrée sont OUées et négées, elles sont équivalentes à l’ET des compléments des variables individuelles. Ainsi, l’équivalent de la fonction NOR est une fonction de négatif-ET qui prouve que A+B = A.B, et encore une fois, nous pouvons montrer cette opération à l’aide de la table de vérité suivante.
Vérification du Second Théorème de DeMorgan à l’aide d’une Table de Vérité
| Entrées | Sorties de la Table de Vérité pour Chaque Terme | ||||||
| B | A | A+B | A+B | A | B | A . B | |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
Nous pouvons également montrer que A+B = A.B en utilisant l’exemple suivant de portes logiques.
Mise en Œuvre du Second Théorème de DeMorgan à l’aide de Portes Logiques
L’arrangement de porte logique supérieur de : A+B peut être réalisé en utilisant une fonction de porte NOR standard avec les entrées A et B. L’arrangement de porte logique inférieur inverse d’abord les deux entrées, produisant ainsi A et B. Celles-ci deviennent ensuite les entrées de la porte ET. Par conséquent, la sortie de la porte ET devient : A.B.
Nous pouvons alors voir qu’une fonction de porte ET standard avec des inverseurs (portes NON) sur chacune de ses entrées produit une condition de sortie équivalente à une fonction de porte NOR standard. Une porte NOR individuelle peut être représentée de cette manière, car l’équivalence d’une porte NOR est un négatif-ET.
Bien que nous ayons utilisé les théorèmes de DeMorgan avec seulement deux variables d’entrée A et B, ils sont également valables pour une utilisation avec des expressions de variables d’entrée de trois, quatre ou plus, par exemple :
Pour une entrée à 3 variables
A.B.C = A+B+C
et aussi
A+B+C = A.B.C
Pour une entrée à 4 variables
A.B.C.D = A+B+C+D
et aussi
A+B+C+D = A.B.C.D
et ainsi de suite.
Les Portes Équivalentes de DeMorgan
Nous avons vu ici qu’en utilisant les théorèmes de DeMorgan, nous pouvons remplacer tous les opérateurs ET (.) par un OU (+) et vice versa, puis complémenter chacun des termes ou variables dans l’expression par inversion, c’est-à-dire passer de 0 à 1 et de 1 à 0 avant d’inverser la fonction entière.
Ainsi, pour obtenir l’équivalent de DeMorgan pour une porte ET, NAND, OU ou NOR, il suffit d’ajouter des inverseurs (portes NON) à toutes les entrées et sorties et de changer un symbole ET en un symbole OU ou de changer un symbole OU en un symbole ET, comme le montre le tableau suivant.
Les Portes Équivalentes de DeMorgan
| Porte Logique Standard | Porte Équivalente de DeMorgan |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
Nous avons donc vu dans ce tutoriel sur le théorème de DeMorgan que le complément de deux (ou plusieurs) variables d’entrée ET’ées est équivalent à l’OU des compléments de ces variables, et que le complément de deux (ou plusieurs) variables OUées est équivalent à l’ET des compléments des variables, comme défini par DeMorgan.
