Expressions d’Algebre de Boole et Tables de Vérité
Les expressions d’algèbre de Boole peuvent être utilisées pour construire des tables de vérité logique numériques pour leurs fonctions respectives.
En plus d’une expression booléenne standard, les informations d’entrée et de sortie de tout porte logique ou circuit peuvent être tracées dans des tables de vérité de l’algèbre booléenne standard pour donner une représentation visuelle de la fonction de commutation du système.
La table utilisée pour représenter l’expression booléenne d’une fonction de porte logique est couramment appelée Table de vérité. Une table de vérité d’une porte logique montre chaque combinaison d’entrée possible pour la porte ou le circuit avec la sortie résultante dépendant de la combinaison de ces entrées.
Par exemple, considérons un circuit logique à 2 entrées avec des variables d’entrée étiquetées comme A et B. Il existe « quatre » combinaisons d’entrée possibles ou 22 d’« ÉTEINT » et « ALLUMÉ » pour les deux entrées. Cependant, en traitant des expressions booléennes et en particulier des tables de vérité des portes logiques, nous n’utilisons généralement pas « ALLUMÉ » ou « ÉTEINT », mais leur attribuons plutôt des valeurs de bits qui représentent le niveau logique « 1 » ou le niveau logique « 0 » respectivement.
Les quatre combinaisons possibles de A et B pour une porte logique à 2 entrées sont alors données comme suit :
- Combinaison d’entrée 1. – « ÉTEINT » – « ÉTEINT » ou ( 0, 0 )
- Combinaison d’entrée 2. – « ÉTEINT » – « ALLUMÉ » ou ( 0, 1 )
- Combinaison d’entrée 3. – « ALLUMÉ » – « ÉTEINT » ou ( 1, 0 )
- Combinaison d’entrée 4. – « ALLUMÉ » – « ALLUMÉ » ou ( 1, 1 )
Par conséquent, un circuit logique à 3 entrées aurait 8 combinaisons d’entrée possibles ou 23, et un circuit logique à 4 entrées aurait 16 ou 24, et ainsi de suite à mesure que le nombre d’entrées augmente. Ainsi, un circuit logique avec « n » nombre d’entrées aurait 2n combinaisons d’entrée possibles d’« ÉTEINT » et « ALLUMÉ ».
Pour garder les choses simples à comprendre, dans ce tutoriel, nous traiterons uniquement des portes logiques de type 2 entrées, mais les principes restent les mêmes pour les portes avec plus de deux entrées.
Ensuite, les tables de vérité pour une porte ET à 2 entrées, une porte OU à 2 entrées et une porte NON à entrée unique sont données comme suit :
Tables de Vérité de l’Algèbre Booléenne pour une Porte AND à 2 Entrées
Pour une porte ET à 2 entrées, la sortie Q est vraie si les DEUX entrées A « ET » l’entrée B sont toutes deux vraies, donnant l’expression booléenne : ( Q = A et B ).
| Symbole | Table de Vérité | ||
|
A | B | Q |
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| Expression Booléenne Q = A.B | À lire comme A ET B donne Q | ||
Notez que l’expression booléenne pour une porte ET à deux entrées peut être écrite comme : A.B ou simplement AB sans le point décimal.
Tables de Vérité de l’Algèbre Booléenne pour une Porte OR à 2 Entrées
Pour une porte OU (OU inclusif) à 2 entrées, la sortie Q est vraie si l’UNE ou l’AUTRE des entrées A « OU » l’entrée B est vraie, donnant l’expression booléenne : ( Q = A ou B ).
| Symbole | Table de Vérité | ||
|
A | B | Q |
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| Expression Booléenne Q = A+B | À lire comme A OU B donne Q | ||
Tables de Vérité de l’Algèbre Booléenne pour la Porte NOT
Pour une porte NON (inverseur) à entrée unique, la sortie Q est UNIQUEMENT vraie lorsque l’entrée est « NON » vraie, la sortie est l’inverse ou le complément de l’entrée, donnant l’expression booléenne : ( Q = NON A ).
| Symbole | Table de Vérité | |
|
A | Q |
| 0 | 1 | |
| 1 | 0 | |
| Expression Booléenne Q = NON A ou A | À lire comme l’inversion de A donne Q | |
Les portes NAND et NOR sont une combinaison des portes ET et OU respectivement avec celle d’une porte NON (inverseur).
Porte NAND à 2 entrées (Non ET)
Pour une porte NAND à 2 entrées, la sortie Q n’est PAS vraie si les DEUX entrées A et B sont vraies, donnant l’expression booléenne : ( Q = non(A ET B) ).
| Symbole | Table de Vérité | ||
|
A | B | Q |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| Expression Booléenne Q = A .B | À lire comme A ET B donne NON-Q | ||
Porte NOR à 2 entrées (Non OU)
Pour une porte NOR à 2 entrées, la sortie Q est vraie si les DEUX entrées A et B ne sont PAS vraies, donnant l’expression booléenne : ( Q = non(A OU B) ).
| Symbole | Table de Vérité | ||
|
A | B | Q |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| Expression Booléenne Q = A+B | À lire comme A OU B donne NON-Q | ||
En plus des portes logiques standard, il existe également deux types spéciaux de fonction de porte logique appelés porte OU Exclusif et porte NOR Exclusif. L’expression booléenne pour indiquer une fonction OU Exclusif ou NOR Exclusif est un symbole avec un signe plus à l’intérieur d’un cercle, ( ⊕ ).
Les actions de commutation de ces deux types de portes peuvent être créées en utilisant les portes logiques standard ci-dessus. Cependant, comme ce sont des fonctions largement utilisées, elles sont maintenant disponibles sous forme de circuits intégrés standard et ont été incluses ici comme référence.
Porte EX-OR à 2 entrées (OU Exclusif)
Pour une porte EX-OR à 2 entrées, la sortie Q est vraie si l’UNE ou l’AUTRE des entrées A ou l’entrée B est vraie, mais PAS les DEUX, donnant l’expression booléenne : ( Q = (A et NON B) ou (NON A et B) ).
| Symbole | Table de Vérité | ||
|
A | B | Q |
| 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | |
| Expression Booléenne Q = A ⊕ B | |||
Porte EX-NOR à 2 entrées (NOR Exclusif)
Pour une porte EX-NOR à 2 entrées, la sortie Q est vraie si les DEUX entrées A et B sont identiques, soit vraies, soit fausses, donnant l’expression booléenne : ( Q = (A et B) ou (NON A et NON B) ).
| Symbole | Table de Vérité | ||
|
A | B | Q |
| 0 | 0 | 1 | |
| 0 | 1 | 0 | |
| 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | |
| Expression Booléenne Q = A ⊕ B | |||
Résumé des Portes Logiques à 2 Entrées
Les tables de vérité de l’algèbre booléenne suivantes comparent les fonctions logiques des portes logiques à 2 entrées ci-dessus.
| Entrées | Sorties de la Table de Vérité pour Chaque Porte | ||||||
| A | B | ET | NAND | OU | NOR | EX-OR | EX-NOR |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Les tables de vérité suivantes de l’algèbre booléenne donnent une liste des fonctions logiques courantes et leur notation booléenne équivalente.
| Fonction Logique | Notation Booléenne |
| ET | A.B |
| OU | A+B |
| NON | A |
| NAND | A .B |
| NOR | A+B |
| EX-OR | (A.B) + (A.B) ou A ⊕ B |
| EX-NOR | (A.B) + (A.B) ou A ⊕ B |
Les tables de vérité des portes logiques à 2 entrées sont données ici comme exemples de fonctionnement de chaque fonction logique, mais il existe de nombreuses autres portes logiques avec 3, 4 voir 8 entrées individuelles. Les portes multientrées ne diffèrent pas des simples portes à 2 entrées ci-dessus, donc une porte ET à 4 entrées nécessiterait toujours que les 4 entrées soient présentes pour produire la sortie requise à Q et sa table de vérité plus grande le refléterait.
