Les mathématiques utilisées en ingénierie électrique pour additionner des résistances, des courants ou des tensions continues utilisent ce que l’on appelle des nombres réels. Mais les nombres réels ne sont pas les seuls types de nombres que nous devons utiliser, surtout lorsqu’il s’agit de sources sinusoïdales dépendant de la fréquence et de vecteurs. En plus des nombres réels, des Nombres Complexes ont été introduits pour permettre de résoudre des équations complexes avec des nombres qui sont les racines carrées de nombres négatifs, √-1. En ingénierie électrique, ce type de nombre est appelé « nombre imaginaire » et pour distinguer un nombre imaginaire d’un nombre réel, la lettre « j », connue communément en ingénierie électrique comme l’opérateur j, est utilisée. Ainsi, la lettre « j » est placée devant un nombre réel pour signifier son opération de nombre imaginaire. Des exemples de nombres imaginaires sont : j3, j12, j100, etc. Un nombre complexe se compose donc de deux parties distinctes mais très liées : un « Nombre Réel » et un « Nombre Imaginaire ».

Représentation des Nombres Complexes

Les nombres complexes représentent des points dans un plan complexe à deux dimensions, ou s-plan, qui sont référencés à deux axes distincts. L’axe horizontal est appelé l’« axe réel », tandis que l’axe vertical est appelé l’« axe imaginaire ». Les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe sont abrégées en Re(z) et Im(z), respectivement. Les nombres complexes, constitués de nombres réels (la composante active) et imaginaires (la composante réactive), peuvent être ajoutés, soustraits et utilisés exactement de la même manière que l’algèbre élémentaire est utilisée pour analyser des circuits à courant continu.

Les règles et lois utilisées en mathématiques pour l’addition ou la soustraction de nombres imaginaires sont les mêmes que pour les nombres réels, comme par exemple : j2 + j4 = j6, etc. La seule différence réside dans la multiplication, car deux nombres imaginaires multipliés ensemble deviennent un nombre réel négatif. Les nombres réels peuvent également être considérés comme un nombre complexe mais avec une partie imaginaire nulle étiquetée j0. L’opérateur j a une valeur exactement égale à √-1, donc la multiplication successive de « j » (j x j) entraînera les valeurs suivantes de j : -1, -j et +1.

Rotation de Vecteurs avec l’Opérateur j

Comme l’opérateur j est couramment utilisé pour indiquer la rotation antihoraire d’un vecteur, chaque multiplication ou puissance successive de « j », j2, j3, etc., forcera le vecteur à tourner à travers un angle fixe de 90° dans le sens antihoraire. De même, si la multiplication du vecteur donne un opérateur -j, alors le décalage de phase sera -90°, c’est-à-dire une rotation horaire. En multipliant un nombre imaginaire par j2, cela fera tourner le vecteur de 180° dans le sens antihoraire, tandis qu’une multiplication par j3 le fera tourner de 270° et par j4 le ramènera à sa position d’origine.

Les Nombres Complexes en Forme Rectangulaire

En ingénierie électrique, il existe différentes manières de représenter un nombre complexe, soit graphiquement, soit mathématiquement. Une façon qui utilise la règle du cosinus et du sinus est appelée la forme cartésienne ou rectangulaire. Par exemple, on peut représenter un nombre complexe sous la forme Z = x + jy, où x est la partie réelle et y est la partie imaginaire. Dans cette forme, un nombre complexe peut être représenté comme un point sur un plan à deux dimensions appelé l’espace complexe ou s-plan.

Présentation sur le Diagramme d’Argand

Cependant, puisque les parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe en forme rectangulaire peuvent être soit des nombres positifs, soit des nombres négatifs, l’axe réel et l’axe imaginaire doivent également s’étendre dans les directions positives et négatives, produisant ainsi un plan complexe avec quatre quadrants appelés diagramme d’Argand. Sur le diagramme d’Argand, l’axe horizontal représente tous les nombres réels positifs à droite de l’axe imaginaire vertical, et tous les nombres réels négatifs à gauche. Ce diagramme illustre la position de nombres complexes et peut également être utilisé pour représenter un phasor tournant.

Opérations sur les Nombres Complexes

L’addition ou la soustraction des nombres complexes peut être effectuée soit mathématiquement, soit graphiquement. Pour l’addition, les parties réelles sont d’abord additionnées ensemble pour former la partie réelle de la somme, puis les parties imaginaires sont additionnées pour former la partie imaginaire de la somme. La multiplication suit les mêmes règles que l’algèbre ordinaire, mais avec quelques règles supplémentaires pour la multiplication successive de l’opérateur j.

Formes Polaire et Exponentielle

En plus de la forme rectangulaire, les nombres complexes peuvent également être exprimés en forme polaire, où un nombre complexe est écrit en termes de sa magnitude et de son angle. La forme exponentielle utilise les fonctions trigonométriques et peut être convertie entre forme rectangulaire et forme polaire facilement avec des calculatrices scientifiques modernes.